Як знайти похідну?

Задача знаходження похідної від заданої функції є однією з основних в курсі математики старшої школи та у вищих навчальних закладах. Неможливо повноцінно дослідити функцію, побудувати її графік без взяття її похідної. Похідну функції легко можна знайти, знаючи основні правила диференціювання, а також таблицю похідних основних функцій. Давайте розберемося, як знайти похідну функції.

Похідної функції називають границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Зрозуміти це визначення досить складно, так як поняття межі повною мірою не вивчається в школі. Але для того, щоб знаходити похідні різних функцій, розуміти визначення не обов'язково, залишимо його фахівцям математикам і перейдемо відразу до знаходження похідної.

Процес знаходження похідної називається диференціюванням. При диференціюванні функції ми будемо отримувати нову функцію.

Для їх позначення будемо використовувати латинські букви f, g та ін.

Існує багато всіляких позначень похідних. Ми будемо використовувати штрих. Наприклад запис g 'означає, що ми будемо знаходити похідну функції g.

Таблиця похідних

Для того щоб дати відповідь на питання як знайти похідну, необхідно привести таблицю похідних основних функцій. Для обчислення похідних елементарних функцій не обов'язково робити складні обчислення. Досить просто подивитися її значення в таблиці похідних.

1. З '= 0
2. (Sin x) '= cos x
3. (Cos x) '= -sin x
4. (Xⁿ) '= N x^n-1
5. (E^x) '= E^x
6. (Ln x) '= 1 / x
7. (A^x) '= A^xln a
8. (Log_ax) '= 1 / x ln a
9. (Tg x) '= 1 / cos²x
10. (Ctg x) '= - 1 / sin²x
11. (Arcsin x) '= 1 / v (1-x²)
12. (Arccos x) '= - 1 / v (1-x²)
13. (Arctg x) '= 1 / (1 + x²)
14. (Arcctg x) '= - 1 / (1 + x²)

Приклад 1. Знайдіть похідну функції y = 500.

Ми бачимо, що це константа. По таблиці похідних відомо, що похідна константи, дорівнює нулю (формула 1).

(500) '= 0

Приклад 2. Знайдіть похідну функції y = x¹⁰⁰.

Це статечна функція в показнику якої 100 і щоб знайти її похідну потрібно помножити функцію на показник і знизити на 1 (формула 3).

(X¹⁰⁰) '= 100 x⁹⁹

Приклад 3. Знайдіть похідну функції y = 5^x

Це показова функція, обчислимо її похідну за формулою 4.

(5^x) '= 5^xln5

Приклад 4. Знайдіть похідну функції y = log₄x

Похідну логарифма знайдемо за формулою 7.

(Log₄x) '= 1 / x ln 4

Правила диференціювання

Давайте тепер розберемося, як знаходити похідну функції, якщо її немає в таблиці. Більшість досліджуваних функцій, не є елементарними, а являють собою комбінації елементарних функцій за допомогою найпростіших операцій (додавання, віднімання, множення, ділення, а також множення на число). Для знаходження їх похідних необхідно знати правила диференціювання. Далі буквами f і g позначені функції, а С - константа.

1. Постійний коефіцієнт можна виносити за знак похідної

(С f) '= С f'

Приклад 5. Знайдіть похідну функції y = 6 * x⁸

Виносимо постійний коефіцієнт 6 і диференціюємо тільки x⁴. Це статечна функція, похідну якої знаходимо за формулою 3 таблиці похідних.

(6 * x⁸) '= 6 * (x⁸) '= 6 * 8 * x⁷= 48 * x⁷

2. Похідна суми дорівнює сумі похідних

Тоді:

(F + g) '= f' + g '

Приклад 6. Знайдіть похідну функції y = x¹⁰⁰+sin x

Функція являє собою суму двох функцій, похідні яких ми можемо знайти по таблиці. Так як (x¹⁰⁰) '= 100 x⁹⁹ і (sin x) '= cos x. Похідна суми буде дорівнює сумі даних похідних:

(X¹⁰⁰+sin x) '= 100 x⁹⁹+cos x

3. Похідна різниці дорівнює різниці похідних

(F - g) '= f' - g '

Приклад 7. Знайдіть похідну функції y = x¹⁰⁰ - Cos x

Ця функція являє собою різницю двох функції, похідні яких ми також можемо знайти по таблиці. Тоді похідна різниці дорівнює різниці похідних і не забудемо поміняти знак, так як (cos x) '= - sin x.

(X¹⁰⁰ - Cos x) '= 100 x⁹⁹ + sin x

Приклад 8. Знайдіть похідну функції y = e^x+tg x- x².

У цій функції є і сума і різниця, знайдемо похідні від кожного доданка:

(E^x) '= E^x, (Tg x) '= 1 / cos²x, (x²) '= 2 x. Тоді похідна вихідної функції дорівнює:

(E^x+tg x- x²) '= E^x+1 / cos²x -2 x

4. Похідна твори

(F * g) '= f' * g + f * g '

Приклад 9. Знайдіть похідну функції y = cos x * e^x

Для цього спочатку знайдемо похідного кожного множника (cos x) '= - sin x і (e^x) '= E^x. Тепер підставимо всі в формулу твори. Похідну першої функції помножимо на другу і додамо твір першої функції на похідну другого.

(Cos x * e^x) '= E^xcos x - e^x* Sin x

5. Похідна приватного

Тоді:

(F / g) '= f' * g - f * g '/ g²

Приклад 10. Знайдіть похідну функції y = x⁵⁰/ Sin x

Щоб знайти похідну приватного, спочатку знайдемо похідну чисельника і знаменника окремо: (x⁵⁰) '= 50 x⁴⁹ і (sin x) '= cos x. Підставивши в формулу похідної приватного отримаємо:

(X⁵⁰/ Sin x) '= 50x⁴⁹* Sin x - x⁵⁰* Cos x / sin²x

Похідна складної функції

Складна функція - це функція, представлена композицією декількох функцій. Для знаходження похідної складної функції також існує правило:

(U (v)) '= u' (v) * v '

Давайте розберемося як знаходити похідну такої функції. Нехай y = u (v (x)) - складна функція. Функцію u назвемо зовнішньої, а v - внутрішньої.

Наприклад:

y = sin (x³) - Складна функція.

Тоді y = sin (t) - зовнішня функція

t = x³ - внутрішня.

Давайте спробуємо обчислити похідну цієї функції. За формулою необхідно перемножити похідні внутрішньої і зовнішньої функції.

(Sin t) '= cos (t) - похідна зовнішньої функції (де t = x³)

(X³) '= 3x² - похідна внутрішньої функції

Тоді (sin (x³)) '= Cos (x³) * 3x²- похідна складної функції.