Як знайти кутовий коефіцієнт?

У математиці одним з параметрів, що описують положення прямої на декартовій площині координат, є кутовий коефіцієнт цієї прямої. Цей параметр характеризує нахил прямої до осі абцісс. Щоб зрозуміти, як знайти кутовий коефіцієнт, спочатку згадаємо загальний вигляд рівняння прямої в системі координат XY.

У загальному вигляді будь-яку пряму можна представити виразом ax + by = c, де a, b і c - довільні дійсні числа, але обов'язково a² + b² ? 0.

Подібне рівняння за допомогою нескладних перетворень можна довести до виду y = kx + d, в якому k і d - дійсні числа. Число k є кутовим коефіцієнтом, а саме рівняння прямої подібного виду називається рівнянням з кутовим коефіцієнтом. Виходить, що для знаходження кутового коефіцієнта, необхідно просто привести вихідне рівняння до зазначеного вище виду. Для більш повного розуміння розглянемо конкретний приклад:

Задача: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 36x - 18y = 108

Рішення: Перетворимо вихідне рівняння.

36x - 18y = 108

18y = 36x - 108

y = 2x - 6

Відповідь: Бажаємий кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює 2.

У випадку, якщо в ході перетворень рівняння ми отримали вираз типу x = const і не можемо в результаті уявити y у вигляді функції x, то ми маємо справу з прямою, паралельною осі Х. Кутовий коефіцієнт подібної прямий дорівнює нескінченності.

Для прямих, яких виражені рівнянням типу y = const, кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Це характерно для прямих, паралельних осі абцісс. Наприклад:

Задача: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 24x + 12y - 4 (3y + 7) = 4

Рішення: Наведемо вихідне рівняння до загального вигляду

24x + 12y - 12y + 28 = 4

24x = 28 - 4

x = -1

З отриманого виразу висловити y неможливо, отже кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює нескінченності, а сама пряма буде паралельна осі Y.

Геометричний зміст

Для кращого розуміння звернемося до картинки:

На малюнку ми бачимо графік функції типу y = kx. Для спрощення приймемо коефіцієнт с = 0. У трикутнику ОАВ ставлення боку ВА до АТ дорівнюватиме кутовому коефіцієнту k. Разом з тим ставлення ВА / АТ - це тангенс гострого кута? в прямокутному трикутнику ОАВ. Виходить, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута, який становить ця пряма з віссю абцісс координатної сітки.

Вирішуючи завдання, як знайти кутовий коефіцієнт прямої, ми знаходимо тангенс кута між нею і віссю Х сітки координат. Граничні випадки, коли розглянута пряма паралельна осях координат, підтверджують вищенаписане. Дійсно для прямої, описаної рівнянням y = const, кут між нею і віссю абцісс дорівнює нулю. Тангенс нульового кута також дорівнює нулю і кутовий коефіцієнт теж дорівнює нулю.

Для прямих, перпендикулярних осі абцісс і описуваних рівнянням х = const, кут між ними і віссю Х дорівнює 90 градусів. Тангенс прямого кута дорівнює нескінченності, так само і кутовий коефіцієнт подібних прямих дорівнює нескінченності, що підтверджує написане вище.

Кутовий коефіцієнт дотичної

Поширеною, що часто зустрічається на практиці, завданням є також знаходження кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції в деякій точці. Дотична - це пряма, отже до неї також застосовне поняття кутового коефіцієнта.

Щоб розібратися, як знайти кутовий коефіцієнт дотичної, нам буде необхідно згадати поняття похідної. Похідна від будь-якої функції в деякій точці - це константа, чисельно рівна тангенсу кута, який утворюється між дотичною в зазначеній точці до графіка цієї функції і віссю абцісс. Виходить, що для визначення кутового коефіцієнта дотичної в точці x₀, нам необхідно розрахувати значення похідної вихідної функції в цій точці k = f '(x₀). Розглянемо на прикладі:

Задача: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, дотичної до функції y = 12x² + 2xe^x при х = 0,1.

Рішення: Знайдемо похідну від вихідної функції в загальному вигляді

y '= 24x + 2xe^x + 2e^x , далі в отриманий вираз підставимо значення х;

y '(0,1) = 24^. 0,1 + 2^. 0,1^. e^0,1 + 2 ^.e^0,1

y '(0,1) = 4,831

Відповідь: Бажаємий кутовий коефіцієнт в точці х = 0,1 дорівнює 4,831