Як вирішити квадратне рівняння

Повний квадратне рівняння вирішується шляхом знаходження його дискримінанту.

Нагадаємо, що повним квадратним рівнянням називають рівняння виду rx²+ wx + h = 0, де r, w, h - коефіцієнти квадратного рівняння: деякі числа, не рівні нулю, а x - змінна (невідоме).

Як вирішити квадратне рівняння через дискримінант

Обчисліть дискримінант (D) квадратного рівняння. Щоб обчислити дискримінант, потрібно відняти добуток коефіцієнтів r і h на 4 з другого коефіцієнта w, зведеного в другу ступінь.

D = w²- 4rh

Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння менше нуля (D lt; 0), значить дане рівняння не має коренів, а значить не має і рішення.

Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння дорівнює нулю (D = 0), значить рівняння має тільки один корінь. щоб обчислити цей корінь потрібно поділити коефіцієнт квадратного рівняння w зі знаком мінус на подвоєний коефіцієнт r.

Так виглядає формула для знаходження єдиного кореня:
x = -w / 2r

Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння більше нуля (D> 0), значить до рівняння підходять два кореня.

Щоб знайти перший корінь квадратного рівняння x₁,необхідно додати квадратний корінь з дискримінанту до коефіцієнта w зі знаком мінус, і отриманий результат поділити на подвоєний коефіцієнт r.

Щоб знайти другий корінь рівняння x₂, необхідно відняти квадратний корінь з дискримінанту з коефіцієнта w зі знаком мінус, і отриманий результат поділити на подвоєний коефіцієнт r.

Якщо повне квадратне рівняння виду rx²+ wx + h = 0 є приведеним, тобто коефіцієнт, що стоїть поруч з невідомою в другому ступені, дорівнює одиниці (r = 1), то його можливо вирішити за формулою теореми Вієта.

Як вирішити наведене квадратне рівняння використовуючи формулу теореми Вієта

Теорема Вієта звучить наступним чином: сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, тільки з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

Тобто якщо рівняння виду rx²+ wx + h = 0 має дійсні корені, то

• x₁ + x₂ = -w
• x₁ * X₂ = H

За цими формулами можна спробувати вгадати корені рівняння. Для цього потрібно розкласти вільний член h на два множники, сума яких дорівнювала б коефіцієнту w з протилежним знаком.

Наприклад

Візьмемо наведене рівняння x²- 8x + 12 = 0

Ми знаємо що:

• x₁ + x₂ = 8
• x₁ * X₂ = 12

Нам потрібно розкласти 12 на такі два множники, які в сумі дадуть 8. Очевидно, що такими множниками є 6 і 2.

Дійсно:

• 6 * 2 = 12
• 6 + 2 = 8

Звідси випливає, що числа 6 і 2 є вірними країнами для наведеного квадратного рівняння. Такі очевидні рішення швидко приходять на думку при роботі з простими цілими коефіцієнтами квадратного рівняння. тому теорема Вієта часто застосовується для підбору коренів квадратних рівнянь, що значно економить час при їх вирішенні.