Як вирішувати лінійні рівняння?

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, повна ступінь многочленів якого дорівнює одиниці. Рішення лінійних рівнянь - частина шкільної програми, причому не найскладніша. Однак деякі все ж відчувають труднощі при проходженні даної теми. Сподіваємося, прочитавши цей матеріал, всі труднощі для вас залишаться в минулому. Отже, давайте розбиратися. як вирішувати лінійні рівняння.

Загальний вигляд

Лінійне рівняння представляється у вигляді:

• ax + b = 0, де a і b - будь-які числа.

Незважаючи на те, що a і b можуть бути будь-якими числами, їх значення впливають на кількість рішень рівняння. Виділяють кілька окремих випадків рішення:

• Якщо a = b = 0, рівняння має нескінченну безліч рішень;
• Якщо a = 0, bne-0, рівняння не має рішення;
• Якщо ane-0, b = 0, рівняння має рішення: x = 0.

У тому випадку, якщо обидва числа мають не нульові значення, рівняння належить вирішити, щоб вивести кінцеве вираження для змінної.

Як вирішувати?

Вирішити лінійне рівняння - значить, знайти, чому дорівнює змінна. Як же це зробити? Та дуже просто - використовуючи прості операції алгебри і дотримуючись правил переносу. Якщо рівняння постало перед вами в загальному вигляді, вам пощастило, все, що необхідно зробити:

1. Перенести b в праву сторону рівняння, не забувши змінити знак (правило перенесення!), Таким чином, з вираження виду ax + b = 0 повинно вийти вираз виду: ax = -b.
2. Застосувати правило: щоб знайти один з множників (x - у нашому випадку), потрібно твір (-b в нашому випадку) поділити на інший множник (a - в нашому випадку). Таким чином, повинно вийти вираз виду: x = -b / а.

Ось і все - рішення знайдено!

Тепер давайте розберемо на конкретному прикладі:

1. 2x + 4 = 0 - переносимо b, рівне в даному випадку 4, в праву сторону
2. 2x = -4 - ділимо b на a (не забуваємо про знак мінус)
3. x = -4/2 = -2

От і все! Наше рішення: x = -2.

Як бачите, рішення лінійного рівняння з однією змінною знайти досить просто, проте так просто все, якщо нам пощастило зустріти рівняння в загальному вигляді. У більшості випадків, перш ніж вирішувати рівняння в описані вище два ступені, потрібно ще привести наявне вираз до загального вигляду. Втім, це теж не архіскладне завдання. Давайте розберемо деякі окремі випадки на прикладах.

Рішення окремих випадків

По-перше, давайте розберемо випадки, які ми описали на початку статті, і пояснимо, що ж означає нескінченну безліч рішень і відсутність рішення.

• Якщо a = b = 0, рівняння буде мати вигляд: 0x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 0x = 0. Що означає ця нісенітниця, вигукніть ви! Адже яке число на нуль ні множ, завжди вийде нуль! Вірно! Тому й кажуть, що рівняння має нескінченну безліч рішень - яке число не візьми, рівність буде вірним, 0x = 0 або 0 = 0.
• Якщо a = 0, bne-0, рівняння буде мати вигляд: 0x + 3 = 0. Виконуємо перший крок, отримуємо 0x = -3. Знову нісенітниця! Очевидно ж, що це рівність ніколи не буде вірним! Тому й кажуть - рівняння не має рішень.
• Якщо ane-0, b = 0, рівняння буде мати вигляд: 3x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 3x = 0. Яке рішення? Це легко, x = 0.

Труднощі перекладу

Описані окремі випадки - це не все, чим нас можуть здивувати лінійний рівняння. Іноді рівняння взагалі з першого погляду важко ідентифікувати. Розберемо приклад:

• 12x - 14 = 2x + 6

Хіба це лінійне рівняння? А як же нуль в правій частині? Поспішати з висновками не будемо, будемо діяти - перенесемо всі складові нашого рівняння в ліву сторону. Отримаємо:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Тепер віднімемо подібне з подібного, отримаємо:

• 10x - 20 = 0

Дізналися? Саме що ні на є лінійне рівняння! Рішення якого: x = 20/10 = 2.

А що якщо перед нами такий приклад:

• 12 ((x + 2) / 3) + x) = 12 (1 - 3x / 4)

Так, це теж лінійне рівняння, тільки перетворень потрібно провести побільше. Спочатку розкриємо дужки:

1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - тепер виконуємо перенесення:
4. 25x - 4 = 0 - залишилося знайти рішення за вже відомою схемою:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Як бачите, все вирішується, головне - не переживати, а діяти. Запам'ятайте, якщо у вашому рівнянні тільки змінні першого ступеня і числа, перед вами лінійне рівняння, яке, як би воно не виглядало спочатку, можна привести до загального вигляду і вирішити. Сподіваємося, у вас все вийде! Удачі!

Читайте також: Як вирішити квадратне рівняння.