Як вирішувати біквадратне рівняння?

Перш ніж приступити до вирішення біквадратних рівняння, варто розібратися, як воно виглядає і чим відрізняється від класичного квадратного рівняння. Рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0 називається біквадратним з однією змінною (алгебраїчне рівняння четвертого ступеня). Щоб привести рівняння до квадратного вигляду і вирішити через дискримінант, необхідно скористатися заміною змінної:

• т.е .: x² = T

І тоді ми маємо стандартне рівняння виду at² + bt + c = 0

Дискримінант розраховуємо за формулою D = b² - 4ac.

1. У випадку, коли D = 0, рівняння має один єдиний корінь t₁ = -b / 2a, і звідси отримуємо дані рішення нашого рівняння x = sqrt (t₁).
2. Якщо D> 0, рівняння має два корені t₁ = (-b + Sqrt (D)) / 2a і t₂ = (-b - Sqrt (D)) / 2a. Не забуваємо про введеної змінної, і отримуємо кінцеве рішення x_1,2 = Sqrt (t₁) І x_3,4 = Sqrt (t₂)

Важливе зауваження: якщо якесь із значень t_i lt; 0, то при D = 0 споконвічне біквадратне рішення не має дійсних коренів, а при D> 0 - максимум один єдиний дійсний корінь.

За допомогою теореми Вієта

Корисно знати: у випадку, коли ми маємо наведене квадратне рівняння (коефіцієнт при t² = 1), застосовна теорема Вієта, і пошук рішення зводиться до мінімуму дій:

• t₁ + t₂ = -b
• t₁ * T₂ = C

Розглянемо приклад:

• x⁴ - 3x² + 2 = 0

використовуючи заміну змінної x² = T, наводимо квадратне рівняння до виду t² - 3t- + 2 = 0.

• D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 1.

Корені квадратного рівняння t₁ = 2, t₂ = 1.

Враховуючи введену заміну змінної, отримуємо рішення шуканого біквадратних рівняння: t₁ = Sqrt (2) - t₂ = -sqrt (2) - t₃ = 1 t₄ = -1.

До даного завдання можна застосувати теорему Вієта, оскільки коефіцієнт при змінній зі старшою ступенем дорівнює 1:

• t₁ + t₂ = 3
• t₁ * T₂ = 2

Звідси t₁ = 2, t₂ = 1. Як ми бачимо, коріння квадратного рівняння в обох випадках збігаються, а значить, рішення біквадратних рівняння буде таким же.

У даній статті ми розглянули окремий випадок рішення біквадратних рівняння, яке вирішується не складніше класичного квадратного рівняння.