Як знайти графік функції?

Із завданням побудови графіка функції школярі стикаються на самому початку вивчення алгебри і продовжують будувати їх з року в рік. Починаючи з графіка лінійної функції, для побудови якої потрібно знати всього дві точки, до параболи, для якої потрібно вже 6 точок, гіперболи і синусоїді. З кожним роком функції стають все складніше і побудови їх графіків уже неможливо виконати за шаблоном, необхідно проводити більш складні дослідження, користуючись похідними і межами.

Давайте розберемося, як знайти графік функції? Для цього почнемо з найпростіших функцій, графіки яких будуються по точках, а потім розглянемо план для побудови більш складних функцій.

Побудова графіка лінійної функції

Для побудови найпростіших графіків використовують таблицю значень функції. Графіком лінійної функції є пряма. Давайте спробуємо знайти точки графіка функції y = 4x + 5.

1. Для це візьмемо два довільних значення змінної x, підставимо їх по черзі в функцію, знайдемо значення змінної y і занесемо всі в таблицю.
2. Візьмемо значення x = 0 і підставимо у функцію замість x - 0. Отримаємо: y = 4 * 0 + 5, тобто y = 5 запишемо це значення в таблицю під 0. Аналогічно візьмемо x = 0 отримаємо y = 4 * 1 + 5 , y = 9.
3. Тепер, щоб побудувати графік функції потрібно нанести на координатну площину ці точки. Потім необхідно провести пряму.

Побудова графіка квадратичної функції

Квадратична функція - це функція виду y = ax²+bx + c, де x-змінна, a, b, c - числа (a не дорівнює 0). Наприклад: y = x², y = x²+5, y = (x-3)², y = 2x²+3x + 5.

Для побудови найпростішої квадратичної функції y = x² зазвичай беруть 5-7 точок. Візьмемо значення для змінної x: -2, -1, 0, 1, 2 і знайдемо значення y також як і при побудові першого графіка.

Графік квадратичної функції називають параболою. Після побудови графіків функції в учнів з'являються нові завдання, пов'язані з графіком.

Приклад 1: знайдіть абсциссу точки графіка функції y = x², якщо ордината дорівнює 9. Для вирішення завдання необхідно в функцію замість y підставити її значення 9. Отримаємо 9 = x² і вирішити це рівняння. x = 3 і x = -3. Це можна побачити і на графіку функції.

Дослідження функції та побудова її графіка

Для побудови графіків більш складних функцій необхідно виконати декілька кроків, спрямованих на її дослідження. Для цього необхідно:

1. Знайти область визначення функції. Область визначення - це всі значення які може приймати змінна x. З області визначення слід виключити ті точки, в яких знаменник звертається до 0 або подкоренное вираз стає негативним.
2. Встановити парність або непарність функції. Нагадаємо, що парній є та функція, яка відповідає умові f (-x) = f (x). Її графік є симетричним щодо Оу. Функція буде непарної, якщо вона відповідає умові f (-x) = - f (x). У цьому випадку графік симетричний відносно початку координат.
3. Знайти точки перетину з осями координат. Для того, щоб знайти абсциссу точки перетину з віссю Ох, необхідно вирішити рівняння f (x) = 0 (ордината при цьому дорівнює 0). Щоб знайти ординату точки перетину з віссю Оу, необхідно у функцію замість змінної x підставити 0 (абсциса дорівнює 0).
4. Знайти асимптоти функції. Асіптота - пряма, до якої графік нескінченно наближається, але ніколи її не перетне. Давайте розберемося, як знайти асимптоти графіка функції.
5. Вертикальна асимптота пряма виду х = а
6. Горизонтальна асимптота - пряма виду у = а
7. Похила асимптота - пряма виду y = kx + b
8. Знайти точки екстремуму функції, проміжки зростання та спадання функції. Знайдемо точки екстремуму функції. Для цього необхідно знайти першу похідну і прирівняти її до 0. Саме в цих точках функція може помінятися зі зростаючою на спадаючу. Визначимо знак похідної на кожному інтервалі. Якщо похідна позитивна, то графік функції зростає, якщо негативна - убуває.
9. Знайти точки перегину графіка функції, проміжки опуклості вгору і вниз.

Знайти точки перегину тепер простіше простого. Потрібно лише знайти другу похідну, потім прирівняти її до нуля. Слідом знаходимо знак другої похідної на кожному інтервалі. Якщо позитивний, то графік функції опуклий вниз, якщо негативна - вгору.