Як знайти область значення функції?

Функцію можна побудувати по точках: підставляти у формулу значення змінної і ставити на графіку відповідні точки. Але при цьому немає ніякої гарантії, що ви не пропустите точку екстремуму або розриву. Та й процес цей довгий і нудний. Тому набагато раціональніше знайти область визначення, область значень і всі критичні точки функції. Поговоримо про це докладніше.

Що таке область значення функції

Область значення функції y = f (x) - це множина всіх значень функції, які вона приймає при переборі всіх значень х з області визначення х € Х. Позначається область значення як Е y = f (x).

Про область визначення написано в статті Як знайти область визначення функції. Ці дві області іноді плутають, що неприпустимо. Щоб краще зрозуміти, що це таке, розглянемо конкретні приклади.

Наприклад, функція y = f (x) = sinx. Для наочності можна намалювати синусоїду. Тоді ми побачимо, що х може змінюватися від -infin- до + infin-, y = f (x) визначена при х € -infin-- + infin-. При цьому f (x) змінюється від -1 до +1, інших значень вона не приймає. Значить, область визначення функції х € -infin-- + infin-, область значення Е у = -1- +1. Тобто область визначення - це значення х, при яких функція існує. А область значення - це ті значення функції, які вона приймає у всій області визначення.

Розглянемо інший простий приклад: у = 1 / х. Малювати гіперболи ми теж вміємо і знаємо, що при х = 0 значення функції не визначено, тобто в цій точці вона не існує. При х = 0 ми маємо розрив функції. Значить, область визначення х € (-infin- lt; 0- 0 lt; infin-), область значення Е у = (-infin- lt; 0- 0 lt; infin-).

Якщо ми знаємо область визначення функції, нам потрібно знайти максимальне і мінімальне значення функції - це і буде область значень.

Як знайти область значень функції: приклад

• Маємо функцію у = 1 / (хsup2- - 4).

Спочатку шукаємо похідну функції, щоб знайти точки екстремумів.

• у '= (1 / (хsup2- - 4))' = -2х / (хsup2- - 4) sup2-.

З цього виразу випливає, перша точка екстремуму при х = 0, тому в цій точці похідна змінює знак. Тому знак змінюється з + на -, це максимум.

Максимальне значення функції при х = 0:

• у = 1 / (хsup2- - 4) = у = 1 / (0sup2- - 4) = -1 / 4.
• y max = -1/4.

Тепер знайдемо точки розриву функції, які бувають, коли знаменник похідною дорівнює 0.

• (Хsup2- - 4) sup2- = 0.

Розкладаємо вираз на множники:

• (Х - 2) (х + 2) = 0

Корені рівняння: х = 2- -2. Значить, це точки розриву функції. Визначаємо, до чого прагне функція в цих точках.

• Lim (1 / (хsup2- - 4)) = lim1 (1 / (х - 2) (х + 2)) = lim (1 / (2 - 2) (2 + 2)) = lim ((1/0 ) (- 1/4)) = -infin-.
• x - - + 2

У точках розриву функція прагне до мінус нескінченності:

• При х = + -2 у = 1 / (хsup2- - 4) - - ∞

Значить, в інтервалі х = (-2- 0) у зростає від -infin- до -1/4, а в інтервалі х = (0- 2) у убуває від -1/4 до infin-. Область значень:

• Е у = (-infin-- -1/4).

Загальний алгоритм для визначення області значення функцій

1. Беремо похідну функції для того, щоб знайти критичні точки: максимум, мінімум, точки розриву.
2. Знаходимо значення функції в точках екстремумів.
3. Знаходимо значення меж функції в точках розриву.
4. Визначаємо область значень функції. Це легше робити на графіку.

Але якщо на немає часу, можна також знайти область визначення функції онлайн, це легко і швидко.