Що таке похідна?

Похідної функції називається базовий елемент в диференціальному численні. Цей елемент і є певним результатом застосування якоїсь певної операції диференціювання по відношенню до вихідної функції.

Визначення похідної

Для того, щоб зрозуміти, що таке похідна, необхідно знати, що назва функції відбувається безпосередньо від слова «вироблена», тобто утворилася від іншої будь-якої величини. При цьому сам процес визначення похідної якоїсь певної функції має назву - «диференціювання».

Найбільш поширений метод представлення та визначення, при використанні теорії меж, незважаючи на те, що вона з'явилася набагато пізніше диференціальних числень. За визначенням даної теорії, похідною називається межа щодо приросту функції до приросту аргументу, у разі якщо такий межа є, і за умови, що даний аргумент прагне до нульового значення.

Прийнято вважати, що, вперше, термін і поняття «похідна» вжив у своїх працях відомий російський математик на ім'я В.І.Вісковатов.

Розглянутий нижче невеликий приклад допоможе наочно зрозуміти, що таке похідна.

1. Для пошуку похідної функції f в точці х, нам потрібно визначити значення даної функції безпосередньо в точці х, а так само в точці х +? Х. Причому? X - це збільшення аргументу х.
2. Знайти прирощення для функції у прирівняна до f (х +? Х) - f (х).
3. Записати похідну за допомогою межі відносини f '= lim (f (x +? Х) - f (x)) /? Х, обчислити при? Х> 0.

Зазвичай похідна позначається знаком апострофа - «'» безпосередньо над дифференцируемой функцією. Позначення у вигляді одного апострофа позначає першу похідну, у вигляді двох - другу. Похідну найвищого порядку прийнято ставити відповідною цифрою, наприклад f ^ (n) - що означає похідну n-го порядку, де буква «n» - ціле число, яке? 0. Похідна нульового порядку - це і є сама диференціюється функція.

З метою полегшення диференціювання ускладнених функцій, були розроблені і прийняті певні правила диференціювання функцій:

• З '= 0, де С - позначення константи;
• х 'дорівнює 1;
• (F + g) 'прирівнюється f' + g ';
• (С * f) 'прирівняне C * f' і так далі.
• Для N-кратного диференціювання зручніше застосовувати формулу Лейбніца у вигляді: (f * g)^(N) =? C (н)^k* F^(Н-k)* G^до, в якій С (н)^до - Позначення біноміальних коефіцієнтів.

Похідна та геометрія

Геометричне осмислення похідною полягає в тому, що якщо для функції f є кінцева похідна в пункті х, то значення даної похідної буде дорівнювати тангенсу кута від нахилу в дотичній до функції f в даній точці.