Як знайти екстремум?

Перш, ніж навчитися знаходити екстремуми функції, необхідно зрозуміти, що ж таке екстремум. Саме загальне визначення екстремуму свідчить, що це вживане в математиці найменше або найбільше значення функції на певному безлічі числовий лінії або графіку. У тому місці, де знаходиться мінімум, з'являється екстремум мінімуму, а там, де максимум - екстремум максимуму. Також в такій дисципліні, як математичний аналіз, виділяють локальні екстремуми функції. Тепер давайте розглянемо, як знайти екстремуми.

Екстремуми в математиці відносяться до найважливіших характеристик функції, вони показують її найбільше і найменше значення. Знаходяться екстремуми переважно в критичних точках находімих функцій. Варто відзначити, що саме в точці екстремуму функція кардинально змінює свій напрямок. Якщо прорахувати похідну від точки екстремуму, то вона, згідно з визначенням, повинна дорівнювати нулю або ж зовсім буде відсутній. Таким чином, щоб дізнатися, як знайти екстремум функції, необхідно виконати дві послідовні завдання:

• знайти похідну для тієї функції, яку необхідно визначити завданням;
• знайти корені рівняння.

Послідовність знаходження екстремуму

1. Оформіть письмово функцію f (x), яка задана. Знайдіть її похідну першого порядку f '(x). Те вираз, який вийде, прирівняти до нуля.
2. Тепер вам належить вирішити то рівняння, яке вийшло. Результуючі рішення і будуть корінням рівняння, а також критичними точками визначається функції.
3. Тепер визначаємо, якими саме критичними точками (максимуму або мінімуму) є знайдені корені. Наступним етапом, після того, як ми дізналися, як знаходити точки екстремуму функції, є знаходження другої похідної від шуканої функції f '(x). Необхідно буде підставити в конкретне нерівність значення знайдених критичних точок і потім порахувати, що вийде. Якщо станеться так, що друга похідна виявиться більше нуля в критичній точці, то нею і буде точка мінімуму, а в іншому випадку - це буде точка максимуму.
4. Залишається порахувати значення початкової функції в необхідних точках максимуму і мінімуму функції. Щоб це зробити, підставляємо отримані значення у функцію і розраховуємо. Проте варто зазначити, що, якщо критична точка виявилася максимумом, то і екстремум буде максимальним, а якщо мінімумом, то мінімальним за аналогією. 

Алгоритм знаходження екстремуму

Щоб узагальнити отримані знання, складемо короткий алгоритм того, як знаходити точки екстремуму.

1. Знаходимо область визначення заданої функції і її інтервали, які точно визначають, на яких проміжках функція неперервна.
2. Знаходимо похідну від функції f '(x).
3. Обчислюємо критичні точки рівняння y = f (x).
4. Аналізуємо зміни напрямку функції f (x), а також знак похідної f '(x) там, де критичні точки поділяють область визначення даної функції.
5. Тепер визначаємо, чи є кожна точка на графіку максимумом або мінімумом.
6. Знаходимо значення функції в тих точках, які є екстремумами.
7. Фіксуємо результат даного дослідження - екстремуми і проміжки монотонності. Ось і все. Тепер ми розглянули, як можна знайти екстремум на будь-якому проміжку. Якщо вам необхідно знайти екстремум на певному проміжку функції, то робиться це аналогічним чином, тільки обов'язково враховуються кордону виробленого дослідження.

Отже, ми розглянули, як знайти точки екстремуму функції. За допомогою нескладних обчислень, а також знань про знаходження похідних, можна знайти будь екстремум і обчислити його, а також графічно його позначити. Знаходження екстремумів є одним з найважливіших розділів математики, як у школі, так і у Вищому навчальному закладі, тому, якщо ви навчитеся правильно їх визначати, то вчитися стане набагато простіше і цікавіше.