Як знаходити межі?

Існує в математиці таке поняття, як межа функції. Щоб розуміти, як знаходити межі, потрібно пам'ятати визначення границі функції: функція f (x) має межу L в точці x = a, якщо для кожної послідовності значень х, сходящейся до точки a, послідовність значень у наближається до:

• L lim f (x) = L
• х-a

Поняття і властивості меж

Що таке межа, можна зрозуміти з прикладу. Припустимо, ми маємо функцію у = 1 / х. Якщо ми будемо послідовно збільшувати значення х і дивитися, чому дорівнює у, то отримаємо все зменшуються значення: при х = 10000 у = 1/10000 при х = 1000000 у = 1/1000000. Тобто чим більше х, тим менше у. Якщо х = infin-, у буде настільки малий, що його можна буде вважати рівним 0. Таким чином, межа функції у = 1 / х при х прагне до infin- дорівнює 0. Записується це так:

• lim1 / г = 0
• х-∞

Межа функції має кілька властивостей, які потрібно пам'ятати: це істотно полегшить вирішення задач на знаходження меж:

• Межа суми дорівнює сумі меж: lim (x + y) = lim x + lim y
• Межа твори дорівнює добутку меж: lim (xy) = lim x * lim y
• Межа приватного дорівнює приватному від меж: lim (x / y) = lim x / lim y
• Постійний множник виносять за знак межі: lim (Cx) = C lim x

У функції у = 1 / x, в якій x -infin-, межа дорівнює нулю, при x-0, межа дорівнює infin-.

• lim (sin x) / x = 1 x-0

У статті Як вирішувати межі детально розповідається методика вирішення таких завдань. А ми розглянемо декілька прикладів.

Рішення прикладів на межі

Починати знаходити межі функцій треба завжди з підстановки у функцію того значення х, до якого він прагне.

Приклад 1

• Lim (х-3) = lim (3-3) = 0
• х-3

Приклад 2

• Lim [хsup2 - / (1-х)]. Якщо підставити х = infin-, отримаємо
• х-∞
• infin-sup2 - / (1-infin-) = infin-sup2 - / (- infin-).

Одну нескінченність в чисельнику і знаменнику скорочуємо:

• infin - / (- 1) = -infin-. Значить,
• Lim [хsup2 - / (1-х)] = -infin-.
• х-∞

У цих прикладах все просто. Проте зазвичай межі функцій шукають при таких значеннях х, які створюють невизначеність типу 0/0 або infin- / infin-. Такі невизначеності потрібно розкривати.

Приклад 3

• Lim [(2хsup2- - 3х - 5) / (1 + х + 3хsup2-)]
• х-∞

Підставляємо х = infin- і отримуємо в чисельнику і знаменнику нескінченність, і там, і там в квадраті. Значить, вийшла невизначеність типу infin- / infin-.

Спробуємо спочатку розділити обидві частини дробу на старшу ступінь - хsup2-:

• Lim {[(2хsup2- - 3х - 5) / xsup2 -] / [(1 + х + 3хsup2 -) / xsup2-]} =
• х-∞
• = Lim {[(2хsup2- / xsup2-) - (3х / xsup2-) - (5 / xsup2 -)] / [(1 / xsup2-) + (х / xsup2-) + (3хsup2- / xsup2-)] } =
• х-∞
• Lim {[2 - (3 / x) - (5 / xsup2 -)] / [(1 / xsup2-) + (1 / x) + 3]}
• х-∞
• При х = infin- 3 / х = 0- 5 / хsup2- = 0- 1 / xsup2- = 0- 1 / x = 0.

Значить, з усієї страшної чотириповерхової дроби у нас залишилися:

• Lim 2/3 = 2/3.

Відповідь:

• Lim [(2хsup2- - 3х - 5) / (1 + х + 3хsup2-)] = 2/3
• х-∞

У цьому прикладі можна було скористатися властивостями меж і перетворити межа приватного в приватне меж, а потім межі суми в чисельнику і знаменнику представити як суму меж.

Якщо треба знайти межу складної формули, з якою невідомо, що робити, або просто ніколи, можна скористатися сервісом онлайн.