Як вирішувати межі?

В курсі математичного аналізу досить великий проміжок часу виділяється на вивчення прийомів того, як вирішувати межі, як для функцій, так і для послідовностей. На даний момент існує деяка кількість вже готових методів і правил, які при правильному застосуванні можуть допомогти вирішити досить важкі завдання з межами.

В математичний аналіз були введені поняття того, як вирішувати межі функцій, а також межі послідовностей. Якщо необхідно обчислити межа послідовності, то запис цього прикладу виглядає так: lim xn = a. З цієї послідовності видно, що xn прагне до а. У свою чергу n навпаки прагне до нескінченності. Найчастіше послідовності подаються у вигляді рядів, таких як, наприклад, р1, р2, р3 ..., рm, ..., рn .... Всі послідовності прийнято розділяти на дві групи: убуваючі послідовності, а також зростаючі послідовності.

Як вирішувати межі: формули

Найчастіше величина, яка є змінною, наприклад, х прагнути до кінцевого межі, яким є величина а. При цьому величина х постійно наближається до величини а, в хто час як величина а залишається постійною. Запис цього складного визначення дуже проста: limx = a. У цьому випадку n може прагнути до нескінченності, і до нуля. Існують особливі функції, які називаються нескінченними. У них межа також прагне до нескінченності. Якщо ж розглядається інша функція, яка описує уповільнення ходу чого-небудь, то тут є сенс говорити і про межу, який буде прагнути до нуля.

Всі прибудови мають свій певний ряд властивостей. Найчастіше в однієї функції може бути лише один межа. Це і є найбільш важливе і найголовніше властивість меж. Всі інші властивості меж пов'язані з їх визначенням та вирішенням завдань. Також студентам варто звернути увагу на тему про те, як вирішувати межі з корінням.

1. Межа суми дорівнює сумі всіх меж: lim (x + y) = lim x + lim y.
2. Межа приватного дорівнює приватному від усіх меж: lim (x / y) = lim x / lim y.
3. Межа твори дорівнює добутку від усіх меж: lim (xy) = lim x * lim y.
4. Постійний множник може бути винесений за знак межі без втрати цілісності завдання: lim (Cx) = C lim x.

Якщо в завданні надана функція 1 / х, для якої х прагне до нескінченності, то межа цієї функції буде дорівнює нуля. Якщо ж х буде прагнути до нуля, то відповідно і межа цієї функції буде дорівнює нескінченності.

Існують спеціальні виключення їх цих правил для тригонометричних функцій. Функція синуса х завжди прагне до одиниці. Коли ця функція наближається до нуля, для неї стає справедливим дане тотожність: lim sin x / x = 1.

Існують також і такого роду завдання, де в процесі обчислення меж з'являється деяка ситуація, звана невизначеністю. Невизначеність - це та ситуація, в якій обчислення межі неможливо. Єдиний метод вирішення таких завдань - це використання правил Лопиталя. Всі невизначеності прийнято ділити на дві категорії: невизначеність виду нуль ділити на нуль, а також невизначеність виду нескінченність ділити на нескінченність. Якщо розглядати межа lim f (x) / l (x), коли f (x0) = l (x0) = 0, то в цьому випадку спостерігається явне виникнення невизначеності виду нуль ділити на нуль. Для того, щоб правильно вирішити це завдання, обидві функції повинні бути піддані спочатку диференціювання, а потім обчисленню межі результату. Якщо розглядати невизначеність виду нуль ділити на нуль, то межа функції буде дорівнює: lim f (x) / l (x) = lim f '(x) / l' (x) (при x прагне до нуля).

Існують спеціальні сервіси, де можна вирішити межа онлайн будь-якої складності. Наприклад, сайт "Обчислити межа онлайн" пропонує стандартний підрахунок межі функцій за допомогою спеціального калькулятора. Якщо ж необхідно підрахувати межа послідовності, то краще звернутися до онлайн-калькулятору меж на сайті "Рішення меж онлайн".