Як знайти довжину третьої сторони трикутника?

Завданнями за рішенням трикутників (саме так називаються подібні завдання) займається особливий розділ геометрії - тригонометрія.

По довжині двох сторін трикутника

Знайти довжину третьої сторони трикутника прямокутного запропонував відомий всім найдавніший математик Піфагор. За основу береться прямокутний трикутник, тобто такий, в якому один з кутів дорівнює 90 градусам. Прилеглі боку до даного кутку завжди позначаються як катети, відповідно, третя, найбільша сторона, отримала назву "гіпотенуза". Теорема Піфагора звучить наступним чином: «квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів».

Для вирішення такого завдання, значення довжини одного катета позначаємо як Х (ікс), а іншого - Y (ігрек), довжину гіпотенузи можна позначити як Z (зет). Тепер запишемо формулу обчислення довжини гіпотенузи: Z в квадраті = X в квадраті + Y в квадраті. Виходячи з такої формули, в результаті отримуємо значення квадрата довжини гіпотенузи. Значить, для отримання значення довжини гіпотенузи потрібно ще витягувати квадратний корінь з отриманої суми довжин катетів.

Раніше ми розглянули ідеальний варіант, коли потрібно визначити довжину гіпотенузи. Якщо ж у задачі невідома довжина одного з катетів, то, спираючись на зазначену теорему, можна вивести похідну формулу. Квадрат довжини одного з катетів дорівнює значенню, отриманому при відніманні квадрата довжини іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи: Х в квадраті = Z в квадраті - Y в квадраті. Ну і останньою дією йде обов'язково витяг квадратного кореня з отриманого значення.

Для прикладу візьмемо прості значення довжини катетів: 2 і 3 сантиметри. Шляхом простих математичних операцій отримуємо Z в квадраті = 4 + 9 = 13. Значить, Z приблизно дорівнює 3,6 сантиметрам. Якщо ж виключити зведення значень в квадрат, то вийде, що Z = 2 + 3 = 5 сантиметрів, що не відповідає істині.

По довжині двох сторін і за значенням кута між ними

Знайти довжину третьої сторони трикутника можна, скориставшись теоремою косинусів. Дана геометрична теорема звучить наступним чином: квадрат однієї зі сторін трикутника дорівнює значенню, одержуваному при відніманні подвоєного твори довжини відомих сторін і косинуса кута, який розташований між ними, із суми квадратів довжини відомих сторін.

У математичному вигляді така формула виглядає наступним чином: Z в квадраті = Xsup2- + Ysup2--2 * X * Y * cosC. Тут X, Y, Z позначають довжину всіх сторін трикутника, а С - значення в градусах кута, який розташований між відомими сторонами.

Для прикладу використовуємо трикутник, відомі сторони якого рівні 2 і 4 сантиметрам, а кут між ними становить 60 градусів. Використовуємо зазначену раніше формулу і отримуємо: Z в квадраті = 4 + 16-2 * 2 * 4 * cos60 = 20-8 = 12. Довжина невідомої сторони становить 3,46 сантиметра.