Як вирішувати коріння?

Дуже не подобаються, деяким, школярам рівняння і завдання, в яких зустрічається знак кореня. А адже вирішити приклад з коренем не так складно, важливо знати, з якого боку підійти до проблеми. Сам значок, який позначає добування кореня, називається радикалом. Як вирішувати коріння? Витягти квадратний корінь з числа - це означає, підібрати таке число, яке в квадраті дасть те саме значення під знаком радикала.

Отже, як вирішувати квадратні корені

Вирішувати квадратні корені нескладно. Наприклад, потрібно з'ясувати, скільки буде корінь з 16. Для того щоб вирішити це простий приклад, потрібно згадати, скільки буде 2 в квадраті - 2², потім 3², і, нарешті, 4². Тільки тепер ми побачимо, що результат (16) відповідає запиту. Тобто, для того, щоб витягти корінь, нам довелося підбирати можливі значення. Виявляється, для того, щоб вирішувати коріння, не існує точного і перевіреного алгоритму. Для полегшення праці "вирішувача", математики рекомендують завчити напам'ять (саме назубок, як таблицю множення) значення квадратів чисел до двадцяти. Тоді можна буде запросто витягувати корінь з чисел, які більше сотні. І, навпаки, бачити відразу, що корінь з цього числа витягти не можна, тобто відповідь не матиме ціле число.

Ми розібралися, як вирішувати квадратні корені. А тепер давайте розберемося, які квадратні корені рішення не мають. Наприклад, негативні числа. Тут зрозуміло, що якщо два від'ємних числа перемножити - відповідь вийде зі знаком плюс. Далі що слід знати. Корінь витягти можна з будь-якого числа (крім негативного, як згадувалося вище). Просто відповідь може обернутися десятковим дробом. Тобто містити якусь кількість цифр після коми. Наприклад, корінь з двох має значення 1.41421 і це ще не всі цифри після коми. Такі значення округлюються для полегшення розрахунків, іноді до другої цифри після коми, іноді до третьої або четвертої. Крім того частенько практикується так і залишати число під коренем як відповідь, якщо воно добре і компактно виглядає. Адже і так ясно, що воно означає.

Як вирішувати рівняння з корінням?

Щоб вирішувати рівняння з корінням, потрібно застосувати одну з придуманих не нами методик. Наприклад, звести обидві частини такого рівняння в квадрат. Наприклад:

Корінь з X + 3 = 5

Зведемо в квадрат ліву і праву частини рівняння:

X² + 9 = 25

Тепер уже видно, як вирішувати це рівняння. Спочатку з'ясуємо, чому дорівнює X² (А він дорівнює 16), а потім винесемо з нього корінь. Відповідь: 4. Однак тут варто сказати, що це рівняння насправді має два рішення, два кореня: 4 і -4. Адже -4 в квадраті теж дасть 16.

Крім цього методу іноді більш привабливий і зручний спосіб заміни змінної, яка знаходиться під коренем - інший змінної, для того, щоб позбутися від цього кореня. 

Y = корінь з X.

Згодом, вирішивши рівняння, ми повертаємося до заміни і закінчуємо обчислення з коренем.

Тобто, отримуємо X = Y². А це і буде рішення.

Слід сказати, що є ще декілька прийомів рішення рівнянь з корінням.

Як вирішувати коріння в ступені?

Радикал, в основі якого немає ступеня, означає, що потрібно витягти з виразу або числа квадратний корінь, тобто квадратна ступінь навпаки. Це просто і зрозуміло. Наприклад: корінь з 9 = 3, (а 3² = 9), корінь з 16 = 4 (4² = 16) і все в тому ж дусі. Але що значить, якщо у кореня є ступінь? Це означає, що потрібно, знову ж таки, провести дію, зворотне зведення в цю саму ступінь. Наприклад, потрібно дізнатися значення кореня кубічного з 27.
Для цього, треба підібрати таке число, яке при зведенні в куб, дасть 27. Це 3 (3 * 3 * 3 = 27).

Значить:

корінь ³ з 27 = 3

Схожі дії потрібно провести, якщо ступінь кореня дорівнює 4, 5. Тільки в цьому випадку треба підібрати таке число, яке при зведенні в ступінь n дасть значення під коренем n-ної ступеня.

Тут потрібно сказати, що ступеня коренів і ступеня підкореневих виразів можна скорочувати. Однак за правилами. Якщо число або змінна під коренем має ступінь, кратну ступеня кореня - їх можна скоротити. Наприклад:

корінь³ з X⁶ = X²

Ці правила дій з корінням і ступенями прості, їх потрібно знати чітко, і тоді розрахунок буде простий. Як вирішувати коріння в ступені, ми розібралися, тепер просуваємося далі.

Як вирішувати корінь під коренем?

Це жахливе вираз корінь під коренем на перший погляд не вирішуване. Але, щоб правильно обчислити значення такого виразу, потрібно знати властивості коренів. У такому випадку потрібно просто замінити два кореня - одним. Для цього ступеня цих радикалів потрібно просто перемножити. Наприклад:

корінь³з кореня 729 = (корінь³* Корінь²) З 729

Тобто, тут ми помножили між собою корінь кубічний на корінь квадратний. В результаті отримали корінь шостого ступеня:

корінь⁶ з 729 = 3

Точно так само потрібно вирішувати й інші подібні коріння під коренем.

Розглянувши всі запропоновані приклади, легко погодитися, що рішення коренів - не така вже й важке завдання. Звичайно, коли справа зводиться до простої, банальної арифметики, іноді легше скористатися звичним калькулятором. Однак перед тим як робити обчислення, потрібно зробити все можливе, щоб спростити собі завдання, максимально скоротивши кількість і складність арифметичних обчислень. Тоді рішення стане простим і, найголовніше - цікавим.