Як знайти середню лінію трапеції?

Відрізок прямої, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. Про те, як знайти середню лінію трапеції і як вона співвідноситься з іншими елементами цієї фігури, ми розповімо нижче.

Теорема про середній лінії

Намалюємо трапецію, в якій AD - більше підставу, BC - менше підставу, EF - середня лінія. Продовжимо підставу AD за точку D. Проведемо лінію BF і продовжимо її до перетину з продовженням підстави AD в точці О. Розглянемо трикутники? BCF і? DFO. Кути LBCF = LDFO як вертикальні. CF = DF, LBCF = LFDО, тому ВС // АТ. Отже, трикутники? BCF =? DFO. Звідси боку BF = FO.

Тепер розглянемо? АВО і? EBF. LABO загальний для обох трикутників. BE / AB = frac12- за умовою, BF / BO = frac12-, оскільки? BCF =? DFO. Отже, трикутники ABO і EFB подібні. Звідси відношення сторін EF / AO = frac12-, як і ставлення інших сторін.

Знаходимо EF = frac12- AO. За кресленням видно, що AO = AD + DO. DO = BC як сторони рівних трикутників, значить, AO = AD + BC. Звідси EF = frac12- АТ = frac12- (AD + BC). Тобто довжина середньої лінії трапеції дорівнює напівсумі підстав.

Чи завжди середня лінія трапеції дорівнює напівсумі підстав?

Припустимо, що існує такий окремий випадок, коли EF ne- frac12- (AD + BC). Тоді ВС ne- DO, отже,? BCF ne-? DCF. Але це неможливо, оскільки у них рівні два кути і сторони між ними. Отже, теорема вірна за всіх умов.

Завдання про середній лінії

Припустимо, в нашій трапеції АВСD АD // ВС, LA = 90 °, LС = 135 °, АВ = 2 см, діагональ АС перпендикулярна бічній стороні. Знайдіть середню лінію трапеції EF.

Якщо LА = 90 °, то і LВ = 90 °, значить,? АВС прямокутний.

LBCA = LBCD - LACD. LACD = 90 ° за умовою, отже, LBCA = LBCD - LACD = 135 ° - 90 ° = 45 °.

Якщо в прямокутному трикутнику? АВС один кут дорівнює 45 °, значить, катети в ньому рівні: АВ = ВС = 2 см.

Гіпотенуза АС = radic- (АВsup2- + ВСsup2-) = radic-8 см.

Розглянемо? ACD. LACD = 90 ° за умовою. LCAD = LBCA = 45 ° як кути, утворені січною паралельних підстав трапеції. Отже, катети AC = CD = radic-8.

Гіпотенуза AD = radic- (ACsup2- + CDsup2-) = radic- (8 + 8) = radic-16 = 4 см.

Середня лінія трапеції EF = frac12- (AD + BC) = frac12- (2 + 4) = 3 см.