Як знайти діагональ трапеції?

Перш, ніж розбиратися, як знайти діагональ трапеції, згадаємо, що таке трапеція. У планіметрії трапецією називають чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні один одному. Ці паралельні сторони називають підставами трапеції, а решта - бічними сторонами. Бічні сторони можуть бути однаковими, тоді ми маємо справу з рівнобедреної трапецією.

Далі детально розберемо порядок знаходження довжини діагоналей для загального випадку - неравнобедренной трапеції. При цьому будемо виходити з того, що вихідними даними є довжини всіх чотирьох сторін трапеції, кути біля основи невідомі.

Розрахунок діагоналі трапеції

У зображеної на малюнку трапеції ABCD є дві діагоналі AC і BD. Порядок знаходження їх довжини однаковий, тому розглянемо всі на прикладі знаходження діагоналі BD, противолежащей? BAD.

Діагональ BD одночасно є стороною трикутника ABD і може бути розрахована по теоремі косинусів за допомогою формули:

BD = v (AB²+AD²-2AB^.AD^.cos? BAD)

У цій формулі нам відомі всі величини, крім косинуса? BAD. Щоб обчислити його, нам необхідно буде виконати невелике перетворення малюнка. «Виріжемо» з вихідної трапеції прямокутник BNMC. В результаті отримаємо трикутник ABD ', в якому сторона BD' буде дорівнює стороні трапеції CD.

?BAD 'в трикутнику дорівнює? BAD в трапеції, бо ніяких перетворень з трикутником ABN ми не виконували. Отже, в цьому трикутнику ABD 'сторона AB нам відома, сторона BD' = CD, а сторона AD '= AD - NM = AD - BC.

Виходить, що за теоремою косинусів cos? BAD = cos? BAD '= (AB² + AD '² - BD '²) / 2AB^.AD '= (AB² +(AD - BC)² - CD²) / 2AB^.(AD - BC)

Підставивши тепер отриманий вираз в знайдену раніше формулу, отримаємо:

BD = v (AB²+AD²-2AB^.AD^.cos? BAD) = v (AB²+AD²-2AB^.AD^.(AB² +(AD - BC)² - CD²) / 2AB^.(AD - BC)) = v (AB² + AD² - AD^.(AB² +(AD - BC)² - CD²) / (AD - BC)) = v (AB² + AD² - AD^.(AD - BC)²/ (AD - BC) - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC)) = v (AB² + AD² - AD² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC)) = v (AB² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC))

BD = v (AB² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC))

Отримана формула діагоналі трапеції справедлива для будь-яких значень довжин сторін вихідного чотирикутника.

Для другої діагоналі формула відповідно прийме вигляд:

AC = v (CD² + AD^.BC - AD^.(CD² - AB²) / (AD - BC))

Діагональ рівнобедреної трапеції

Якщо вас цікавить, як знайти діагональ рівнобедрений трапеції, отриману формулу можна значно спростити. Адже в рівнобедрений трапеції AB = CD, отже AB² - CD² = 0 і формула довжини діагоналі приводиться до вигляду:

BD = v (AB² + AD^.BC)

Діагоналі рівнобедрений трапеції дорівнюють один одному, тому друга діагональ знаходиться за тією ж формулою.

У тому випадку, якщо вихідними даними є довжини підстав трапеції, одна з бічних сторін і кути при основі, то завдання знаходження діагоналі трапеції зводиться до розрахунку сторони трикутника по теоремі косинусів.