Як знайти бічні сторони трапеції?

Шкільний курс геометрії передбачає знайомство з усіма видами чотирикутників, у тому числі і з трапеціями. Самими базовими завданнями, які стосуються трапецій, є пошук сторін і улов. У цій статті ми розглянемо декілька прикладів вирішення завдань з пошуку бічних сторін трапеції.

Трапеції бувають:

• довільні;
• рівнобедрені;
• прямокутні.

Рішення задач про довільній трапеції

Трапеція - це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві - ні. Знаходження бічної сторони у довільній трапеції залежить від вихідних даних. Розглянемо варіант, коли відомі кути при основі і висота.

Завдання 1

Дана трапеція АВСД, у якої проведено висоти ВК і СМ, рівні 6 см. Кути при основі становлять 60 і 45 градусів. Потрібно знайти бічні сторони.

Отже, ми маємо два прямокутних трикутника АВК і СДМ, у яких відомо по одному катету і протилежного кута. Cінуси (відношення протилежного катета до гіпотенузи) для значень 60 і 45 градусів - величини відомі: sin 60 = radic-3/2, а sin 45 = radic-2/2.

Отримуємо:

1. sin 60 = BK / AB, отже АВ = ВК / sin 60
2. АВ = 6 / radic-3/2 = 4radic-3 (см)
3. sin 45 = СМ / СД, звідси СД = СМ / sin 45
4. СД = 6 / radic-2/2 = 6radic-2 (см)

Відповідь: АВ = 4radic-3 см і СД = 6radic-2 см

Рішення задач про прямокутної трапеції

Прямокутної називають трапецію, у якої кути при одній з бічних сторін рівні 90⁰. Розглянемо приклад, як знайти бічну сторону трапеції, якщо відомі три інші сторони.

Завдання 2. Дано три сторони, одна з яких перпендикулярна бічна.

Припустимо, нам дана прямокутна трапеція АВСД, у якої АВ перпендикулярно ВС. Відомо, що АВ = 12 см, ВС = 1 см, АТ = 6 см. Необхідно знайти велику бічну сторону.

Рішення:

З точки С опускаємо проводимо висоту СК і отримуємо прямокутний трикутник СДК і прямокутник АВСК. Оскільки у прямокутника протилежні сторони рівні СК = АВ = 12 см, а АК = ВС = 1 см.

Знаходимо відрізок КД:

• КД = АТ - АК = 6 - 1 = 5 (см)

Згідно з теоремою Піфагора:

• СД²= СК²+КД²= 12²+5²= 144 + 25 = 169
• СД = radic-169 = 13 (см)

Відповідь: СД = 13 см

Завдання 3. Дано обидва підстави і кут при основі

Дана трапеція АВСД, у якої підстави ВС і АД рівні 6 і 10 см відповідно, кут ВАД - прямий, а СДА дорівнює 45 градусів. Знайдіть меншу бічну сторону.

1. Проводимо висоту СК і отримуємо прямокутний трикутник СКД і прямокутник АВСК. Оскільки у прямокутника протилежні сторони рівні АК = ВС = 6 см.
2. КД = АТ - АК = 10 - 6 = 4 см
3. cos 45 = radic-2/2 = КД / СД, звідси СД = КД / cos 45
4. Отримуємо СД = 4 / radic-2/2 = 4radic-2 (см)

Відповідь: СД = 4radic-2 см

Рішення задач про рівнобедрений трапеції

Рівнобедреної називають трапецію, у якої бічні сторони рівні. Для того щоб зрозуміти, як знаходити їх, розглянемо наступні приклади

Завдання 4. Дано обидва підстави і висоти

Дана трапеція АВСД, у якої АВ = СД, а ВК і СМ - висоти. ВС = 9 см, АТ = 19 см, а ВК = СМ = 12 см. Знайдіть бічну сторону.

Доведемо, що трикутники АВК і ДСМ рівні. За умовою АВ = СД, ВК = СМ. Так як трапеція рівнобедрена, кути ВАК і СДМ рівні. Оскільки ВК і СМ висоти, то дані трикутники прямокутні. Значить кут АВК = 180 - (90 + ВАК), а кут МСД = 180 - (90 + СДМ), а так як ВАК і СДМ рівні, то і АВК і МСД теж. Отже, трикутники АВК і ДСМ і ДСМ рівні за двома сторонами і кутом між ними.

Знайдемо відрізки АК та МД.

• АК = МД = (АТ - ВС) / 2 = (19-9) / 2 = 5 (см)

За теоремою Піфагора:

• АВ²= СД²= ВК² +АК²
• АВ²= СД²= 12²+5²= 144 + 25 = 169
• АВ = radic- 169 = 13 (см)

Відповідь: 13 см.

Завдання 5. Дано обидва підстави і гострий кут

Дана трапеція АВСД, у якої АВ і СД рівні. ВС = 12 см, АТ = 27 см, а кут при основі 60 градусів. Знайдіть бічну сторону.

Проведемо висоту ВК.

АК = (АТ - ВС) / 2 = (27-12) / 2 = 7,5 (см)

• cos 60 = AK / AB, отже АВ = АК / cos 60
• АВ = 7,5 / 0,5 = 15 (см)

Відповідь: 15 см

Завдання 6. Дано периметр і середня лінія.

Дана рівнобедрена трапеція АВСД, у якої периметр дорівнює 80, а середня лінія КМ - бічній стороні. Необхідно знайти бічну сторону.

З умови відомо, що Р = 2 х АВ + ВС + АД.

Відомо, що довжина серединної лінії дорівнює напівсумі підстав, тобто КМ = (ВС + АД) / 2. Звідси ВС + АТ = 2 х АК = 2 х АВ

За умовою СК = АВ. Підставляємо всі дані в формулу периметра.

• Р = 2 х АВ + 2 х АВ = 80
• 4 х АВ = 80
• АВ = 20 (см)

Відповідь: 20 см

Як видно з прикладів, більшість завдань про трапеціях зводиться до вирішення задач про прямокутних трикутниках.