Властивості рівнобедреного трикутника

Трикутник, у якого дві сторони рівні між собою, називається рівнобедреним. Ці його сторони називають бічними, а третю сторону називають підставою. У цій статті ми розповімо Вам про те, які бувають властивості рівнобедреного трикутника.

Теорема 1

Кути біля підстави рівнобедреного трикутника рівні між собою

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, заснування якого AB. Давайте розглянемо трикутник BAC. Ці трикутники, за першою ознакою, рівні між собою. Так і є, адже BC = AC, AC = BC, кут ACB = кутку ACB. Звідси випливає, що кут BAC = кутку ABC, адже це відповідні кути наших рівних між собою трикутників. Ось Вам і властивість кутів рівнобедреного трикутника.

Теорема 2

Медіана в трикутник, яку провели до його основи, є також висотою і бісектрисою

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, заснування якого AB, а CD - це медіана, яку ми провели до його основи. У трикутниках ACD і BCD кут CAD = кутку CBD, як відповідні кути при основі рівнобедреного трикутника (Теоремі 1). А сторона AC = стороні BC (за визначенням рівнобедреного трикутника). Сторона AD = стороні BD, Адже точка D ділить відрізок AB на рівні частини. Звідси виходить, що трикутник ACD = трикутнику BCD.

З рівності цих трикутників ми маємо рівність відповідних кутів. Тобто кут ACD = кутку BCD і кут ADC = кутку BDC. З рівності 1 виходить, що CD - це бісектриса. А кут ADC і кут BDC - суміжні кути, і з рівності 2 виходить, що вони обидва прямі. Виходить, що CD - це висота трикутника. Це і є властивість медіани рівнобедреного трикутника.

А тепер трохи про ознаки рівнобедреного трикутника.

Теорема 3

Якщо в трикутнику два кути рівні між собою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, в якому кут CAB = кутку CBA. Трикутник ABC = трикутнику BAC за другою ознакою рівності між трикутниками. Так і є, адже AB = BA- кут CBA = кутку CAB, кут CAB = кутку CBA. З такої рівності трикутників ми маємо рівність відповідних сторін трикутника - AC = BC. Тоді виходить, що трикутник ABC рівнобедрений.

Теорема 4

Якщо в будь-якому трикутнику його медіана є також і його висотою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

У трикутнику ABC ми проведемо медіану CD. Вона також буде і висотою. Прямокутний трикутник ACD = прямокутного трикутника BCD, так як катет CD загальний для них, а катет AD = катету BD. З цього випливає, що їх гіпотенузи рівні між собою, як відповідні частини рівних трикутників. Це означає, що AB = BC.

Теорема 5

Якщо три сторони трикутника рівні трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники рівні

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC і трикутник A1B1C1 такі, в яких сторони AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Розглянемо доказ цієї теореми від протилежного.

Припустимо, що ці трикутники не рівні між собою. Звідси маємо, що кут BAC НЕ дорівнює куту B1A1C1, кут ABC НЕ дорівнює куту A1B1C1, кут ACB НЕ дорівнює куту A1C1B1 одночасно. В іншому випадку, ці трикутники були б рівні по вищерозглянутого ознакою.

Припустимо, що трикутник A1B1C2 = трикутнику ABC. У трикутника вершина C2 лежить з вершиною C1 відносно прямої A1B1 в одній півплощині. Ми припустили, що вершини C2 і C1 не збігаються. Припустимо, що точка D - це середина відрізка C1C2. Так ми маємо трикутник B1C1C2 і A1C1C2, у яких є загальне підставу C1C2. Виходить, що їх медіани B1D і A1D - це також і їх висоти. А це означає, що пряма B1D і пряма A1D перпендикулярні прямий C1C2.

B1D і A1D мають різні точки B1 і A1, і відповідно, не можуть збігатися. Але ж через точку D прямий C1C2 ми можемо провести всього одну перпендикулярну їй пряму. У нас вийшло протиріччя.

Тепер Ви знаєте, які бувають властивості рівнобедреного трикутника!