Ознаки рівності трикутників

Всім відомо, що два відрізки будуть рівні, якщо їх довжини збігаються. Або окружності можна вважати рівними, якщо рівні їх радіуси. А які ознаки рівності трикутників? 7 клас середньої освітньої школи: на уроці геометрії школярі дізнаються, що, виявляється, є елементи при рівності яких можна вважати рівними трикутники, що їх містять. Це дуже зручно використовувати при вирішенні завдань.

Перша ознака рівності трикутників

Дотримання умови відповідного рівності двох сторін і кута, який укладено між ними в одному трикутнику двом сторонам і куту, який укладено між ними в іншому трикутнику, говорить про те, що такі трикутники є рівними.

Доказ.

Якщо розглянути? ABC і? A1B1C1, де сторони AB = A1B1, BC = B1C1,

а? ABC дорівнює? A1B1C1,

тоді? A1B1C1 можна накласти на? ABC таким чином, щоб? A1B1C1 збігся з? ABC. При цьому трикутники співпадуть повністю, адже співпадуть всі їхні вершини.

(Якщо це необхідно трикутник A1B1C1 можна замінити рівним йому "перевернутим" трикутником, т. Е. Трикутником, симетричним A1B1C1.)

Друга ознака рівності трикутників

За умови, що одна сторона і два кути, які прилягають до неї, в одному трикутнику відповідно рівні стороні і двом кутам, які прилягають до неї в іншому трикутнику, то такі трикутники вважаються рівними.

Доказ.

Якщо в? АВС і? А 1 В 1 З 1 матимуть місце такі рівності

AB = A1B1,

?BAC =? B1A1C1,

?АВС =? А1У1С1.

Накладемо один на одного трикутники А1У1С1 і АВС таким чином, щоб збіглися рівні сторони AB і A1B1 і кути, які до них прилягають. Як і у вже розглянутому попередньому прикладі, якщо це необхідно, трикутник А1В1С1 можна "перевернути і докласти зворотною стороною". Трикутники співпадуть, а отже вони можуть вважатися рівними.

Третя ознака рівності трикутників

За умови, що три сторони у одного трикутника відповідно рівні всім трьом сторонам в іншому трикутнику, то такі трикутники вважаються рівними. Доказ.

Нехай для? ABC і? A1B1C1 справедливі рівності А1В1 = АВ В1С1 = ВС С1А1 = СА Перемістимо трикутник А1В1С1 таким чином, що сторона А1В1 совпдет зі стороною АВ, і вершини B1 і B, A1 і A, співпадуть. Візьмемо коло з центром в A і радіусом AC, і другу коло з центром B і радіусом BC. Ці кола перетнуться в двох симетричних відносно відрізка AB точках: точкою C і точкою C2. Значить, C1 після перенесення трикутника A1B1C1 повинна збігтися або з точками C, або з C2. Будь-якому випадку, це буде означати рівність? ABC =? A1B1C1, так як трикутники? ABC =? ABC2 рівні (адже ці трикутники є симетричними відносно відрізка AB.)

Ознаки рівності трикутників прямокутних

У прямокутних трикутниках кут між катетами - прямий, отже в будь-яких прямокутних трикутниках вже є рівні кути. Значить, справедливі будуть наступні зауваження.

• Прямокутні трикутники рівні, якщо катети одного з них відповідно рівні катетам іншого;
• Прямокутні трикутники рівні, при дотриманні умови відповідного рівності гіпотенуз і одного з катетів в цих трикутниках.

Якщо прибрати з другої ознаки, який говорить про рівність трикутників, умова про прилежащем до катету прямому куті (тат як прямі кути в трикутниках рівні), маємо наступне:

• такі трикутники рівні, за умови, що катет а також гострий кут, прилегла до нього в одному прямокутному трикутнику відповідно рівні катету і гострому куту, в іншому прямокутному трикутнику.

Відомо, що сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 ?, а один з кутів прямокутного трикутника - прямий. Значить, якщо в двох прямокутних трикутниках гострі кути рівні, то і залишилися кути рівні. Для звичайних, не прямокутних трикутників, для визначення рівності фігур, досить знати, що дорівнюють відповідно одна сторона і два прилеглих до неї кутах. У прямокутному трикутнику можна розглядати тільки один гострий кут і гіпотенузу для визначення рівності фігур.

• Прямокутні трикутники будуть рівні за умови, що гострий кут і гіпотенуза одного з них рівні гострого кутку і гіпотенузі в іншому.

Дивовижна наука - геометрія! Ознаки рівності трикутників можуть стати в нагоді не тільки для шкільних підручників, а й для вирішення щоденних завдань, які вирішують дорослі люди в повсякденному житті.