Ознаки подібності трикутників

Ознаками подібності двох трикутників є такі геометричні ознаки, які дозволяють встановити, що два деяких трикутника є подібними один одному, без розгляду всіх елементів.

Теорема 1

Перша ознака подібності двох трикутників

 Трикутники подібні, якщо хоча б два кути у деякому трикутнику відповідно рівні двом кутам в іншому трикутнику.

Доказ

Якщо дано два трикутника: ABC і А1В1С1, де? A =? A1, і? B =? B1. Тоді виходить, що? C і? C1 також рівні між собою. Давайте доведемо, подобу? ABC і? A1B1C1.

Якщо відкласти на стороні ВА відрізок Ва2, який буде дорівнює відрізку A1B1, і потім, провести пряму через точку А2, яка буде паралельна прямій АС. То ця пряма буде припиняти відрізок ВС у точці, яку назвемо С2. Отже, трикутники А2ВС2 і А1У1С1 рівні: А2В = А1В1 з побудови,? В1 =? В за умовою і? А2 =? А1, так як? А =? А1 по умові і? А2 =? А як відповідні кути. Згідно лемі 1 про подібні трикутниках (пряма, яка паралельна однієї зі сторін трикутника і яка перетинає дві інші його сторони, відсікає трикутник, який подібний даним) будемо мати:? ABC? ? A2BC2, таким чином,? A1B1C1 ?? ABC. Значить, теорема доведена. Теореми 2 і 3 доводяться за аналогічною схемою.

Теорема 2

Друга ознака подібності трикутників.

Трикутники вважаються подібними, якщо дві з сторін одного трикутника будуть відповідно пропорційними двом сторонам другого трикутника. Також має дотримуватися умова рівності кутів між цими сторонами.

Теорема 3

Третя ознака подібності трикутників.

Трикутники вважаються подібними, якщо дотримується умова пропорційності трьох сторін одного з них трьом сторонам другого.

Слідство 1 з теореми 1. Якщо розглядати подібні трикутники, то їх подібні сторони будуть пропорційні висот, які будуть опущені на подібні сторони.

Ознаки подібності прямокутних трикутників

1. прямокутні трикутники вважаються подібними, якщо катет і гіпотенуза одного з них пропорційні катету і гіпотенузі другого трикутника;
2. подібними вважаються прямокутні трикутники, якщо гострий кут одного з них дорівнює гострому куту другого трикутника.

Ознаки подібності трикутників в прикладах

Приклад 1

Необхідно знайти довжину відрізка KP, якщо відомо, що в трикутнику АВС, довжина сторони АС дорівнює десяти, і на стороні АВ є якась точка К, але АК = 2, ВК = 3. Через точку К проведена пряма, яка паралельна АС. Точка P лежить на її перетині зі стороною ВС. Це ситуація, коли використовуються ознаки подібності трикутників. Урок з подібною задачкою обов'язково зустрічається в кожній школі. Отже, якщо у трикутнику є пряма, проведена паралельно одній стороні, то утворюється трикутник, який подібний даному. Трикутник КBР подібний трикутнику аbс. Доводячи це, зауважимо, що кут ВКР дорівнює куту ВАС. З причини того, що це відповідні кути, які лежать при паралельних КР і АС і січної АК. Крім цього, кут В - загальний і, отже, треті кути рівні, кут ВРК і ВСА. Таким чином, згідно теоремі про першу ознаку подібності трикутників,? АВС подібний? КВР. З цього випливає, що КР / АС, сторони лежать проти? В, так само ВК / ВА боку, сторони, які лежать проти рівних? Р и? С. Отже, відрізок ВА знайдемо, складаючи BК і АК. Підставляємо сюди дані, отримуємо: КР / 10 = 3/5 тобто, КР = 6

Приклад 2

Нехай в трикутниках ABC і А1В1С1,? В =? В1. Сторони АВ, ВС у трикутнику ABC більше в 2,5 рази сторін A1B1, B1C1, що в трикутнику A1B1C1. Потрібно знайти АС і A1C1, за умови, що їх сума дорівнює 4,2 м. Рішення. За умовою задачі запишемо:

1. ?B =? B1;
2. AB / A1B1 = BC / B1C1 = 2,5 Отже,? ABC ?? А1У1С1. За другою ознакою подібності трикутників.
3. AC + A1C1 = 4,2м. З подоби цих трикутників отримуємо наслідок AC / A1C1 = 2,5, або АС = 2,5xА1С1 Якщо АС = 2,5 x А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 x А1С1 + A1C1 = 4,2, тому АС = 3 (м), A1C1 = 1,2 (м).

Приклад 3

Необхідно з'ясувати, подібні до Чи трикутники А1У1С1 і ABC якщо см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Рішення. ВС / B1C1 = 5 / 7.5 = 1 / 1.5 AB / А1В1 = 3 / 4.5 = 1 / 1.5 АС / A1C1 = 7 / 10.5 = 1 / 1.5

Значить, по третьому ознакою, трикутники є подібними.