Як знайти периметр трикутника?

Часто математичні завдання вимагають глибокого аналізу, вміння здійснювати пошук рішення і вибір потрібних тверджень, формул. У такій роботі неважко заплутатися. І все ж існують завдання, вирішення яких зводиться до застосування однієї формули. До таких завдань належить питання, як знайти периметр трикутника.

Розглянемо основні формули для вирішення цього завдання стосовно до різних видів трикутника.

1. Основним правилом для знаходження периметра трикутника є наступне твердження: периметр трикутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Формула P = a + b + c. Тут a, b, c - довжини сторін трикутника, P - його периметр.
2. Існують окремі випадки цієї формули. Наприклад:
3. якщо в задачі стоїть питання, як знайти периметр прямокутного трикутника, то можна використовувати як класичну формулу (див. п. 1), так і формулу, що вимагає меншої кількості даних: P = a + b + v (a²+b²). Тут a, b - довжини катетів прямокутного трикутника. Неважко помітити, що третя сторона (гіпотенуза) замінена виразом з теореми Піфагора.
4. периметр рівнобедреного трикутника знаходимо за формулою P = 2 * a + b. Тут a - довжина бокової сторони трикутника, b - довжина його заснування.
5. для пошуку периметра рівностороннього (або правильного) трикутника обчислюємо значення виразу P = 3 * a, де a - довжина сторони трикутника.
6. для вирішення завдань, де фігурують подібні трикутники, корисно знати наступне твердження: ставлення периметрів дорівнює коефіцієнту подібності. Зручно використовувати формулу
   P (? ABC) / P (? A₁B₁C₁) = K, де? ABC ~? A₁B₁C₁, а k - коефіцієнт подібності.

Приклад

Дан? ABC зі сторонами 6, 8, і 10 і? A₁B₁C₁зі сторонами 9, 12. Відомо, що кут B дорівнює куту B₁. Знайдіть периметр трикутника A₁B₁C_1.

Рішення

• Нехай AB = 6, BC = 8, AC = 10 A₁B₁= 9- B₁C₁= 12. Зауважимо, що AB / A₁B₁= BC / B₁C₁, т.к. 6/9 = 8/12 = 2/3. Причому за умовою B = B₁. Ці кути укладені між сторонами AB, BC і A₁B₁, B₁C₁відповідно. Висновок - по 2-му ознакою подібності трикутників,? ABC? ? A₁B₁C₁. Коефіцієнт подібності k = 2/3.
• Знайдемо за формулою п. 1 P (? ABC) = 6 + 8 + 10 = 24 (од). Можна використовувати формулу п. 2а, т.к. теорема Піфагора доводить, що? ABC - прямокутний.
• З п. 2d випливає, P (? ABC) / P (? A₁B₁C₁) = 2/3. Тому P (? A₁B₁C₁) = 3 * P (? ABC) / 2 = 3 * 24/2 = 36 (од).