Як знайти бісектрису трикутника?

Однією з основ геометрії є знаходження бісектриси, променя, що ділить кут навпіл. Бісектриса трикутника являє собою частину бісектриси будь-якого кута. Це відрізок від вершини кута до перетину з протилежною стороною трикутника.

Якщо вивести бісектриси з усіх кутів, то вони перетнуться в одній точці, яка називається центр вписаного трикутника.

Обчислити бісектрису можна, якщо знати довжину сторони, яку вона ділить навпіл, або ж величини кутів трикутника.

Бісектриса рівнобедреного трикутника

Оскільки в трикутник дві сторони рівні один одному, то і бісектриси прилеглих кутів будуть рівними. Тому кути трикутника також рівні.

При проведенні бісектриси з одного з кутів, вона буде вважатися висотою даного трикутника і його медіаною.

Завдання, як знайти бісектрису трикутника, вирішуються із застосуванням формул.

Для вирішення даних формул в умові повинні бути позначені значення довжин сторін, або величин кутів трикутника. Знаючи їх, можна обчислити бісектрису по косинусам, або по периметру.

Наприклад, беремо трикутник ABC і проводимо бісектрису AE до основи BC. Отриманий трикутник AEB - прямокутний. Бісектриса - це його висота, сторона AB - гіпотенуза прямокутного трикутника, а BE і AE - катети.

Застосовується теорема Піфагора - квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Виходячи з неї BE = v (AB - AE). Оскільки AE - це медіана трикутника ABC, то катет BE = BC / 2. Таким чином, BE = v (AB - (BC / 4)).

У випадку, якщо заданий кут підстави ABC, то бісектриса трикутника AEB, AE = AB / sin (ABC). Кут підстави AEB, BAE = BAC / 2. Тому бісектриса AE = AB / cos (BAC / 2).

Як знайти бісектрису трикутника, вписаного в інший трикутник?

У трикутник ABC проведемо до сторони АС сторону ВК. Цей відрізок нічого очікувати бути ні биссектрисой трикутника, ні його медіаною. Тут застосуються формула Стюарта.

По ній обчислюється периметр трикутника - сума довжин всіх його сторін. Для ABC обчислюємо напівпериметр. Це периметр трикутника, поділений навпіл.

Р = (АВ + ВС + АС) / 2. За цією формулою вираховуємо бісектрису, проведену до сторони. ВК = v (4 * ВС * АС * Р (Р-АВ) / (ВС + АС).

За теоремою Стюарта можна також побачити, що бісектриса, проведена до іншої сторони трикутника, буде дорівнює ВК, тому ці дві сторони трикутника рівні між собою.

Бісектриса прямокутного трикутника

Для того щоб знати, як знаходитися бісектриса в прямокутному трикутнику, потрібно також користуватися формулами. Не варто забувати, що в прямокутному трикутнику один кут обов'язково прямий, тобто рівний 90 градусам. Таким чином, якщо бісектриса починається з прямого кута, навіть якщо в умові не буде зазначений синус або косинус кута, можна їх впізнати за величиною кута.

• Знаходиться бісектриса за формулою Стюарта. Якщо є трикутник АВК, і його напівпериметр вираховується, як Р = (АВ + ВК + АК) / 2. Виходячи з отриманого, вираховуємо бісектрису АЕ = v (4 * ВК * АК * Р (Р-АВ) / (ВК + АК).
• Довжина бісектриси визначається ще таким чином. АЕ = v (ВК * АК) - (ЕВ * ЄК), де ЕВ і ЄК - відрізки, на які бісектриса АЕ ділить сторону ВК.
• Або можна скористатися косинусами кутів прямокутного трикутника, якщо вони відомі. Бісектриса буде дорівнює (2 * аb * (cos c / 2)) / (a + b).
• Або знаходити бісектрису так. За формулою (cos а) - (cos b) / 2, знайдіть необхідний надалі дільник. Далі висота, проведена до сторони с, ділиться на отримане значення. Для отримання косинусів потрібно знати величину кутів. Або обчислити їх, виходячи з величини єдино відомого кута - прямого, в 90 градусів.

Рівносторонній трикутник

В такому трикутнику всі сторони рівні між собою, відповідно і кути. Тому всі бісектриси і медіани також будуть рівними. Якщо деякі значення сторін будуть невідомими, то потрібне буде значення одного боку. Тому сторони рівні. І величини кутів також. Тому для знаходження бісектриси за формулою косинусів, потрібно знати або обчислити значення лише одного з кутів.

Довжина медіани і бісектриса трикутника дорівнює - L.

Сторони трикутника рівні - а.

L = (аv3) / 2.

У трикутнику АВС, бісектриса АЕ = (АВСv3) / 2.

З цієї ж формулою обчислюються висота і медіана рівностороннього трикутника.

Різнобічний трикутник

В такому трикутнику всі сторони мають різні значення, тому й бісектриси не рівні між собою.

Береться трикутник з довільними значеннями сторін. Якщо деякі значення сторін невідомі, то вони обчислюються за формулою периметра трикутника.

Після того, як бісектриси кутів будуть проведені, варто додати до їх позначенням нижній індекс1. Відрізки, на які бісектриса ділить протилежну сторону, позначаються також з нижнім індексом 1.

Довжини цих відрізків обчислюються по теоремі синусів.

Довжина ж бісектриси обчислюється як L = v аb - а1b1, де аb - прилеглі до відрізків боку, а а1b1 - твір відрізків. Формула застосовується до всіх сторін різнобічного трикутника. Головне, це знати довжини сторін, або обчислити їх, знаючи величини прилеглих до них кутів.