Як вирішувати тригонометричні рівняння?

Не секрет, що успіх або невдача в процесі вирішення практично будь-якої задачі, в основному залежить від правильності визначення типу заданого рівняння, а також від правильності відтворення послідовності всіх етапів його рішення. Однак у випадку з тригонометричними рівняннями, визначити факт того, що рівняння саме тригонометрическое, зовсім нескладно. А от у процесі визначення послідовності дій, які повинні привести нас до правильної відповіді, можна зіткнутися з певними складнощами. Давайте розберемося, як вирішувати тригонометричні рівняння правильно з самого початку.

Рішення тригонометричних рівнянь

Для того, щоб вирішити тригонометричне рівняння, потрібно спробувати виконати наступні моменти:

• Наводимо всі функції, які входять в наше рівняння до «однаковим кутах»;
• Потрібно довести задане рівняння до «однакових функцій»;
• Розкладаємо ліву частину заданого рівняння на множники або інші необхідні компоненти.

Методи

Метод 1. Вирішувати такі рівняння необхідно в два етапи. Перший-перетворюємо рівняння для того, щоб отримати його найпростіший (спрощена) вид. Рівняння: Cosx = a, Sinx = a і подібні, називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Другий етап-вирішуємо отримане найпростіше рівняння. Слід зазначити, що найпростіше рівняння можна вирішити алгебраїчним методом, який добре відомий нам з шкільного курсу алгебри. Його також називають методом заміни підстановки і змінної. За допомогою формул приведення, спочатку потрібно перетворити, потім зробити заміну і після цього знайти коріння.

Далі потрібно розкласти наше рівняння на можливі множники, для цього необхідно перенести всі члени вліво і потім можна розкладати на множники. Тепер потрібно привести дане рівняння до однорідного, в якому всі члени дорівнюють одній ступеня, а косинус і синус мають один і той же кут.

Перед тим, як вирішувати тригонометричні рівняння, потрібно перенести його члени в ліву частину, забравши з правої, а потім виносимо всі загальні знаменники за дужки. Прирівнюємо наші дужки і множники до нуля. Наші прирівняні дужки являють собою однорідне рівняння із зменшеною ступенем, яке потрібно розділити на sin (cos) у старшій ступеня. Тепер вирішуємо рівняння алгебри, яке було отримано, у співвідношенні до tan.

Метод 2. Ще одним методом, за допомогою якого, можна вирішити тригонометричне рівняння є перехід до половинному кутку. Приміром, вирішуємо рівняння: 3sinx-5cosx = 7.

Нам потрібно перейти до половинному кутку, в нашому випадку це: 6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos? (X / 2) + 5sin? (X / 2) = 7sin? (X / 2) + 7cos? (x / 2) .А після цього, зводимо всі члени в одну частину (для зручності краще вибрати праву) і приступаємо до вирішення рівняння.

При необхідності можна вводити допоміжний кут. Це робиться у випадку, коли потрібно замінити ціле значення sin (a) або cos (a) і знак «a» якраз і виступає допоміжним кутом.

Твір в суму

Як вирішувати тригонометричні рівняння, використовуючи твір в суму? Метод відомий як перетворення твори в суму також може бути використаний у вирішенні таких рівнянь. У цьому випадку необхідно використовувати відповідні рівняння формули.

Наприклад, у нас є рівняння: 2sinx * sin3x = сos4x

Нам потрібно вирішити цю задачу шляхом перетворення лівій частині в суму, а саме:

сos 4x -cos8x = cos4x,

cos8x = 0,

8x = p / 2 + pk,

х = p / 16 + pk / 8.

8

Якщо вищенаведені методи не підходять, і Ви все ще не знаєте, як вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння, можна скористатися ще одним методом - універсальна підстановка. З його допомогою можна перетворити вираз і провести заміну. Наприклад: Cos (x / 2) = u. Тепер можна вирішувати рівняння з наявними параметром u. А отримавши потрібний результат, не забуваємо перевести це значення в зворотне.

Багато «досвідчені» учні радять звернутися за рішенням рівнянь до людей в онлайн-режимі. Як вирішити тригонометричне рівняння онлайн, запитаєте Ви. Для онлайн рішення задачі, Ви можете звернутися на форуми відповідної тематики, де Вам можуть допомогти порадою або ж у вирішенні завдання. Але найкраще, все ж спробувати обійтися власними силами.

Навички та вміння у вирішенні тригонометричних рівнянь є дуже важливими і корисними. Їх розвиток зажадає від Вас чималих зусиль. З рішенням таких рівнянь пов'язані багато завдань фізики, стереометрії і т.д. А сам процес вирішення подібних завдань передбачає собою наявність умінь і знань, які можна придбати під час вивчення елементів тригонометрії.

Вчимо тригонометричні формули

У процесі рішення рівняння Ви можете зіткнутися з потребою використання будь-якої формули з тригонометрії. Можна, звичайно, почати шукати її в своїх підручниках і шпаргалках. А якщо ці формули відкладені у Вас в голові, ви не тільки заощадите свої нерви, але і значно полегшите собі завдання, не витрачаючи часу на пошук потрібної інформації. Таким чином, у Вас буде можливість для продумування найбільш раціонального шляху вирішення поставленого завдання.