Як вирішувати нерівності?

Не всі знають, як вирішувати нерівності, які за своєю структурою мають подібні та відмінні риси з рівняннями. Рівняння - вправа, що складається з двох частин, між якими стоїть знак рівності, а між частинами нерівності може стояти знак «більше» або «менше». Таким чином, перш ніж знайти рішення конкретного нерівності, ми повинні розуміти, що варто враховувати знак числа (позитивне чи негативне), якщо виникає необхідність множення обох частин на який-небудь вираз. Цей же факт слід враховувати, якщо потрібно для вирішення нерівності зводити в квадрат, оскільки зведення в квадрат проводиться шляхом множення.

Як вирішувати систему нерівностей

Набагато складніше вирішувати системи нерівностей, ніж звичайні нерівності. Як вирішувати нерівності 9 клас, розглянемо на конкретних прикладах. Слід розуміти, що перед тим, як вирішувати квадратні нерівності (системи) або будь-які інші системи нерівностей, необхідно вирішити кожне нерівність окремо, після чого зіставити їх. Рішенням системи нерівності буде або позитивний, або негативний відповідь (має система рішення або не має рішення).

Завдання - вирішити сукупність нерівностей:

Вирішимо кожне нерівність окремо

Будуємо числову пряму, на якій зображуємо безліч рішень

Відповідь:

Так як сукупність - це об'єднання множин рішень, то це безліч на числової прямої має бути підкреслено мінімум однією лінією.

Рішення нерівностей з модулем

Даний приклад покаже, як вирішувати нерівності з модулем. Отже, у нас є ухвала:

Нам необхідно вирішити нерівність:

| X |> 2

Перш ніж вирішити таку нерівність, необхідно позбутися від модуля (знака)

Запишемо, грунтуючись даними визначення:

або

Тепер слід вирішувати кожну з систем окремо.

Побудуємо одну числову пряму, на якій зобразимо безлічі рішень.

В результаті у нас вийшла сукупність, що об'єднує безліч рішень.

Відповідь:

Рішення квадратичних нерівностей

Використовуючи числову пряму розглянемо на прикладі рішення квадратичних нерівностей. У нас є нерівність:

Нам відомо, що графіком квадратного тричлена є парабола. Так само нам відомо, що гілки параболи спрямовані вгору, якщо а> 0.

x²-3x-4 lt; 0

Користуючись теоремою Вієта знаходимо коріння х₁ = - 1 х₂ = 4

Зобразимо параболу, вірніше, її ескіз.

Таким чином, ми з'ясували, що значення квадратного тричлена будуть менше 0 на відрізку від - 1 до 4.

Відповідь:

У багатьох виникають питання при вирішенні подвійних нерівностей типу g (x) lt; f (x) lt; q (x). Перед тим, як вирішувати подвійні нерівності, необхідно їх розкладати на прості, і кожне просте нерівність вирішувати окремо. Наприклад, розклавши наш приклад, отримаємо в результаті систему нерівностей g (x) lt; f (x) і f (x) lt; q (x), яку слід і вирішувати.

Насправді, методів вирішення нерівностей декілька, тому ви можете використовувати для вирішення складних нерівностей графічний спосіб.

Рішення дрібних нерівностей

Більш ретельного підходу вимагають до себе дробові нерівності. Це обумовлено тим, що в процесі вирішення деяких дрібних нерівностей може змінитися знак. Перед тим, як вирішувати дробові нерівності, необхідно знати, що для їх вирішення використовується метод інтервалів. Дробове нерівність необхідно представити таким чином, щоб одна сторона від знака виглядала, як дрібно-раціональний вираз, а друга - «- 0». Перетворюючи нерівність таким чином, ми отримаємо в результаті f (x) / g (x)> (.

Рішення нерівностей методом інтервалів

Методика інтервалів заснована на методі повної індукції, тобто, необхідно для знаходження рішення нерівності перебрати всі можливі варіанти. Даний метод рішення, можливо, і не буде потрібно учням 8-х класів, оскільки вони повинні знати, як вирішувати нерівності 8 клас, які представляють собою найпростіші вправи. А от для більш старших класів цей метод незамінний, оскільки допомагає вирішити дробові нерівності. Рішення нерівностей за допомогою даної методики засновано і на такій властивості неперервної функції, як збереження знака між значеннями, в яких вона звертається до 0.

Побудуємо графік многочлена. Це безперервна функція, що набуває значення 0 3 рази, тобто, f (x) буде дорівнює 0 в точках x₁, x₂ і x₃, коренях многочлена. У проміжках між цими точками, знак функції зберігається.

Так як для вирішення нерівності f (x)> 0 нам необхідний знак функції, переходимо до координатної прямої, залишивши графік.

f (x)> 0 при x (x₁- x₂) І при x (x₃- )

f (x) x (- - x₁) І при х (x₂- x₃)

На графіку наочно показані рішення нерівностей f (x) f (x)> 0 (синім кольором рішення для першого нерівності, а червоним - для другого). Щоб визначити Для визначення знак функції на інтервалі, достатньо того, щоб вам був відомий знак функції в одній з точок. Дана методика дозволяє швидко вирішувати нерівності, в яких ліва частина розкладена на множники, тому що в таких неравенствах досить просто знайти коріння.