Як переводити в десяткову систему числення?

Більшість людей на нашій планеті за рахунку користуються десятковою системою числення, а ось в комп'ютерах використовується двійкова. Деякі племена на зорі розвитку людства використовували Дванадцяткова і шістдесяткова. Саме від них нам залишилися 12:00 на циферблаті і 60 хвилин в годині.

Часом необхідно перевести число з однієї системи в іншу. У цій статті розглянемо конкретніше, як переводити в десяткову систему з деяких інших популярних систем.

Принцип побудови числа з цифр

Перш за все потрібно зрозуміти, що таке система числення і її підстава. Система числення - спосіб подання чисел у вигляді комбінації тих чи інших цифр. Підстава системи - кількість цифр, в ній використовуються. Наприклад, в десятковій системі з основою 10 всього 10 цифр - від 0 до 9. У шістнадцятковій, відповідно, 16 цифр, для позначення яких використовуються арабські цифри 0 - 9 і латинські літери A - F замість цифр 10 - 15. Наприклад, 2F7BE₁₆ - число шестнадцатеричной системи. При такого запису нижнім індексом позначається основа системи числення. Ключовим розходженням між системами з різними підставами є "цінність" числа 10. У шістнадцятковій системі 10₁₆ дорівнюватиме 16₁₀, а в двійковій 10₂ одно всього лише двом. 100₁₆ буде обчислюватися як

100₁₆ = 10₁₆ * 10₁₆ = 16₁₀ * 16₁₀ = 256₁₀.

Слід також розрізняти поняття "цифра" і "число". Цифра позначається одним символом, а число - може і кількома. Наприклад, число 9₁₀ в двійковій системі буде виглядати як 1001₂, а цифра 9 у двійковій системі не існує як така.

Алгоритм перекладу

Щоб перевести в десяткову систему число, потрібно навчитися застосовувати нескладний алгоритм.

1. Визначити підставу системи числення. Воно позначається нижнім індексом після числа, наприклад, в числі 2F7BE₁₆ підставу одно 16.
2. Кожну цифру числа помножити на основу в ступені, що дорівнює номеру цифри справа наліво, починаючи з нуля. У числі 2F7BE₁₆ Е (рівне 14) множиться на 16 в нульовий ступеня, В (цифра 11) - на 16 в першій мірі і так далі: 2F7BE₁₆ = 2 * 16⁴ +15 * 16³ + 7 * 16² + 11 * 16¹ + 14 * 16⁰.
3. Скласти отримані результати.

2 * 16⁴ +15 * 16³ + 7 * 16² + 11 * 16¹ + 14 * 16⁰ = 194 494₁₀.

Розглянемо на прикладах, як найпопулярніші - шестнадцатеричную, вісімкову і двійкову системи перевести в десяткову.

• 5736₈ = 5 * 8³ + 7 * 8² + 3 * 8¹ + 6 * 8⁰ = 3038₁₀
• 1001011₂ = 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 75₁₀
• 2F7BE₁₆ = 2 * 16⁴ +15 * 16³ + 7 * 16² + 11 * 16¹ + 14 * 16⁰ = 194 494₁₀

Зрозуміло, рахувати кожен раз вручну незручно, нераціонально, та й не хочеться. Існує безліч калькуляторів, які вміють переводити числа з системи в систему. Наприклад, стандартний калькулятор Windows в режимі "Програміст" (клавіші Alt + 3 або меню "Вид") може працювати з системами підстав 2, 8, 10 і 16.