Як знайти площу поверхні піраміди?

Яку фігуру ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в підставі цього многогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, сходяться в одній загальній вершині. Ось тепер, розібравшись з терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ підстави і всієї його бічної поверхні.

Обчислення площі підстави піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми лежить в основі нашої піраміди багатокутника. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини, або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

У підставі - правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата буде дорівнює довжині його боку, зведеної в квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеній на 4 і помноженому на квадратний корінь з трьох.

Але існує й загальна формула, для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn = 1 / 2P * r .

У підставі - неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1 / 2a * h (де а - підстава трикутника, h - опущена на це підстава висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто суму площ всіх її бічних сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай у нас є довільна піраміда, тобто така, в основі якої - неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площа кожної грані і скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1 / 2a * h.
2. Нехай наша піраміда - правильна, тобто в її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється в його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) досить знайти половину твору периметра багатокутника-підстави (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається складанням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її заснування з площею всій бічній поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчно площі поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

У підставі такої піраміди - трикутник. За формулою Sо = 1 / 2a * h знаходимо площу основи. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, що також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площа поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-ох доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площа підстави доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника - правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи і повної площі поверхні заданої піраміди.