Як вирішувати системи рівнянь?

Система рівнянь - на перший погляд, абсолютно марна і непотрібна в житті річ. Але якщо вдивитися в суть процесів, що відбуваються навколо нас, в природі, в досягненнях науки і техніки, стає ясно - це не так. Майже будь-яке явище може бути описано системою рівнянь, починаючи від дощу навесні, закінчуючи польотами астероїдів в космосі. А, як відомо, явище, для якого визначено досить точний опис, може бути передбачене.

Що таке система рівнянь

Системою називається деяка кількість звичайних рівнянь, які повинні виконуватися одночасно. На листі система позначається фігурною дужкою з лівого боку, що об'єднує всі рівняння. А як вирішувати систему рівнянь? Завдяки тому, що всі рівняння кожної даної системи повинні бути в силі разом, відкриваються кілька способів переінакшити, перетворити систему, не змінивши її коренів. Такі перетворення називаються еквівалентними. Наприклад, є система «х + у = 2 - х - у = 0» Очевидно, її коріння «х = 1 - у = 1». Розглянемо еквівалентні перетворення.

Додавання

Вирішити систему рівнянь методом складання найпростіше. Додамо до першого рівняння друге, причому повністю - і ліву і праву частини. Отримаємо систему «2 * х + 0 * у = 2 + 0 - х - у = 0». У першому рівнянні системи знаходимо корінь х = 1. Підставляємо його в друге рівняння і отримуємо значення другої змінної у = 1. Система вирішена. Слід пам'ятати, що перед складанням рівняння можна повністю помножити на константу, що також є еквівалентним перетворенням. І ця константа не обов'язково повинна бути позитивною.

Підстановка

Якщо ж завдання звучить як «вирішите систему рівнянь методом підстановки» - все дещо гірше. Метод підстановки більш гормоздок в порівнянні з методом додавання і на одну невелику систему може піти не один аркуш із зошита. Для того щоб вирішити систему рівнянь методом підстановки, треба взяти одне з рівнянь (для зручності - перше) і висловити з нього одну із змінних (для зручності знову перша). Вийде рівняння виду «х = 2y + 7z + 9a -2b - 11» Тепер у всіх інших рівняннях замість х підставляємо підібране для нього вираз «2y + 7z + 9a -2b - 11», не забуваючи помножити його на числовий коефіцієнт при х в вихідному рівнянні. Отримуємо рівняння, що виражає х і кілька рівнянь, від х не залежать. Потім аналогічну операцію проробляємо для всіх змінних. В останньому рівнянні виявиться явно виражена остання змінна, така особливість цього методу. І, як наслідок, її можна знайти. Знаючи останню змінну, можна підставити її чисельне значення в передостаннє рівняння і знайти вже передостанню змінну. Продовжуючи такі махінації, можна знайти всі змінні. При вирішенні завдань на такий метод, слід бути дуже уважним - в цій масі арифметичних операцій складно не заплутатися і не допустити прикрої помилки. Для перевірки правильності рішення можна використовувати сервіс Wolfram Alpha. Це потужний обчислювальний центр, який може дати відповідь на найрізноманітніші запити, треба тільки описати задачу так, щоб комп'ютер її зрозумів. Приміром, щоб поставити йому систему рівнянь, треба ввести рівняння, розділяючи їх крапкою з комою.