Як знайти гострий кут паралелограма?

Параллелограммом називається такий чотирикутник, в якому протилежні сторони попарно паралельні.

Паралелограм має всі властивості чотирикутників, але крім цього має і свої відмітні особливості. Знаючи їх, ми можемо з легкістю знаходити як сторони, так і кути паралелограма.

Властивості паралелограма

1. Сума кутів в будь-якому параллелограмме, як і в будь-якому чотирикутнику, дорівнює 360 °.
2. Середні лінії паралелограма і його діагоналі перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл. Цю точку прийнято називати центром симетрії паралелограма.
3. Протилежні сторони у паралелограма завжди рівні.
4. Також у цієї фігури завжди рівні протилежні кути.
5. Сума кутів, що прилягають до будь-якої з сторін паралелограма, завжди становить 180 °.
6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його двох суміжних сторін. Це виражається формулою:
7. d₁² + d₂² = 2 (a²+b²), Де d₁ і d₂ - діагоналі, a і b - суміжні сторони.
8. Косинус тупого кута завжди менше нуля.

Як знайти кути заданого паралелограма, застосовуючи ці властивості на практиці? І які ще формули можуть нам у цьому допомогти? Розглянемо конкретні завдання, в яких вимагають: знайдіть величини кутів паралелограма.

Знаходження кутів паралелограма

Випадок 1. Відома міра тупого кута, потрібно знайти гострий кут.

Приклад: У параллелограмме ABCD кут A дорівнює 120 °. Знайдіть міру решти кутів.

Рішення: Користуючись властивістю № 5, ми можемо знайти міру кута B, суміжного з тим кутом, який даний в завданні. Він буде дорівнює:

• 180 ° -120 ° = 60 °

А тепер, користуючись властивістю №4, ми визначаємо, що два, що залишилися кута C і D протилежні тим кутах, які ми вже знайшли. Кут C протилежний куту A, кут D - кутку B. А отже вони попарно їм рівні.

• Відповідь: B = 60 °, C = 120 °, D = 60 °

Випадок 2. Відомі довжини сторін і діагоналі

У такому випадку нам необхідно скористатися теоремою косинусів.

Ми можемо спочатку за формулою обчислити косинус потрібного нам кута, а потім за спеціальною таблицею знайти, чому дорівнює сам кут.

Для гострого кута формула така:

• cosa = (Аsup2- + Вsup2- - dsup2-) / (2 * А * В), де
• а - це шуканий гострий кут,
• А і В - сторони паралелограма,
• d - менша діагональ

Для тупого кута формула трохи змінюється:

• cosszlig- = (Аsup2- + Вsup2- - Dsup2-) / (2 * А * В), де
• szlig- - це тупий кут,
• А і В - сторони,
• D - велика діагональ

Приклад: необхідно знайти гострий кут паралелограма, сторони якого рівні 6 см і 3 см, а менша діагональ дорівнює 5.2 см

Підставляємо значення у формулу для знаходження гострого кута:

• cosa = (6² + 3² - 5.2²) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. По таблиці з'ясовуємо, що шуканий кут дорівнює 60 °.
• Відповідь: 60 °