Як знайти синус, якщо відомий косинус?

Коли дана задача, в якій відома одна тригонометрическая функція, і потрібно знайти іншу тригонометричну функцію, вирішити її нескладно. Але при цьому дуже важливо врахувати маленькі тонкощі в рішенні. Розглянемо докладні рішення, враховуючи нюанси. Є кілька варіантів завдань, в яких потрібно знайти синус, якщо відомий косинус.

Варіант 1. Дан прямокутний трикутник. Відомо значення косинуса кута цього трикутника (не прямої кута). Насті синус.

Рішення:

Згадаймо основне тригонометричну тотожність: sin²? + cos ²? = 1.

Звідси sin²? = 1 - cos²?.

sin? = ± v (1- cos²?)

У прямокутному трикутнику значення кута (не прямої) може лежати в межах від 1⁰ до 89⁰. Синус такого кута завжди позитивний, отже, перед коренем у нас буде плюс.

Варіант 2. Відомо значення косинуса деякого кута. Також відомо, до якої чверті тригонометричного кола належить кут.

Рішення:

sin²? + cos ²? = 1.

sin²? = 1 - cos²?.

sin? = ± v (1- cos²?)

Відомо, що тригонометрическая функція синус може приймати значення від -1 до +1. Тому, витягуючи корінь, ми повинні це врахувати. Залежно від того, до якої чверті належить кут, ставимо знак перед коренем «+» або «-».

Які бувають чверті:

• I (перша) -? від 0⁰ до 90⁰;
• II (друга) -? від 90⁰ до 180⁰;
• III (третій) -? від 180⁰ до 270⁰;
• IV (четверта) -? від 270⁰ до 360⁰.

Якщо кут належить I або II чверті, то перед знаком кореня «-» не ставимо, так як в цьому випадку sin? завжди позитивний.

Якщо кут належить III або IV чверті, то перед знаком кореня ставимо «-», так як в цьому випадку sin? завжди негативний.

Приклад. Дан косинус, знайти синус. cos? = V3 / 2. Кут у четвертій чверті.

Рішення:

Отже, як знайти синус, знаючи косинус:

sin? = ± v (1- cos²?)

Оскільки за умовою задачі кут належить четвертій чверті тригонометричного кола, перед коренем ставимо знак «-».

sin? = - V (1-3 / 4)

sin? = - 1/2.

Приклад. У прямокутному трикутнику косинус одного кута дорівнює 1/2. Знайдіть синус цього кута.

Рішення: sin²? + cos ²? = 1.

sin²? = 1 - cos²?.

Так як ми шукаємо кут прямокутного трикутника, перед коренем знак «+».

sin? = V (1- cos²?)

sin? = V (1-1 / 4)

sin? = V3 / 2.