Як знайти синус кута трикутника?

Щоб знайти синус кута прямокутного трикутника, потрібно згадати, що таке синус за визначенням. А визначення дуже просте: синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

Як обчислювати синуси

Якщо ми маємо трикутник АВС, у якого А - прямий кут, то сторони АВ і АС будуть катетами, а сторона ВС - гіпотенузою. Значить, за визначенням, синус кута В дорівнює відношенню катета АС до гіпотенузи: sinB = AC / BC, а синус іншого кута sinC = AB / BC.

У прямокутному трикутнику функції кутів обчислювати зручно: не потрібні ніякі додаткові побудови. Достатньо знати довжини потрібних сторін. Але частіше відома тільки частина необхідних даних, інші потрібно шукати. Розглянемо, як це зробити.

Шукаємо синус по двох катетам

Беремо той же самий трикутник АВС з прямим кутом А, в якому нам відомі розміри катетів: AB = a, AC = c. Щоб обчислити синус кута С, потрібно катет поділити на гіпотенузу:

• sinC = AB / BC = a / BC (1).

Але гіпотенузу доведеться рахувати по теоремі Піфагора:

• BC = radic- (ABsup2- + ACsup2 -) = radic- (asup2- + bsup2-). (2)

Поставляємо знайдене значення гіпотенузи (2) у вираз (1), отримуємо відповідь:

• sinC = a / radic- (asup2- + bsup2-).

Шукаємо синус по гіпотенузі і прилеглому катету

Тепер в тому ж трикутнику нам потрібно знайти синус того ж кута С, але відомі при цьому гіпотенуза BC = b і катет AC = с. За допомогою теореми Піфагора: ABsup2- + ACsup2- = BCsup2- шукаємо катет AB:

• AB = radic- (bsup2 - csup2-).

Тепер підставляємо знайдене значення АВ у формулу для синуса:

• sinC = AB / b = radic- (bsup2 - csup2 -) / b.

Обчислення синуса по одній стороні і гострому куту

У трикутнику АВС з прямим кутом А відомий кут В = beta- і катет АC = c. Потрібно знайти синус кута С.

Спосіб 1.

Найпростіше - якщо згадати, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 °:

• А + В + С = 180 °.
• Кут А = 90 °, В = beta-, значить,
• С = 180 ° -90 ° - beta- = 90 ° - beta-.
• Звідси sinC = sin (90 ° - beta-).

Спосіб 2.

Але можна піти й іншим шляхом:

• Sinbeta- = AC / BC- Sinbeta- = c / BC. Звідси:
• BC = с / Sinbeta-.

З теореми Піфагора ABsup2- + ACsup2- = ВСsup2- знаходимо гіпотенузу:

• AB = radic- (BCsup2 - ACsup2-).

Підставляємо відомі значення:

• AB = radic- (сsup2- / Sinsup2-beta - csup2-) = radic-сsup2- (1 / Sinsup2-beta - 1) = сradic- (1 / Sinsup2-beta - 1).

Звідси знаходимо синус кута С:

• sinC = AB / BC = сradic- (1 / Sinsup2-beta - 1) / с / Sinbeta- = Sinbeta- radic- (1 / Sinsup2-beta - 1)

Відповідь:

• sinC = Sinbeta- radic- (1 / Sinsup2-beta - 1).